Einige Inhalte hinzugefügt

presentations/Diskrete-Mathematik/Handout/Handout.tex

@@ -11,6 +11,8 @@
 \usepackage{braket} % needed for nice printing of sets
 \usepackage{xcolor}
 \usepackage{lastpage}
+\usepackage{parskip}
+\usepackage{csquotes}
 \clubpenalty  = 10000   % Schusterjungen verhindern
 \widowpenalty = 10000   % Hurenkinder verhindern
 
@@ -78,6 +80,42 @@
 {\end{contlabelframe}} 
 \makeatother
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+% Theorem                                                           %
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+% needed for theorems
+\usepackage{amsthm}
+\usepackage{thmtools}
+\usepackage{changepage}
+\newlength\Thmindent
+\setlength\Thmindent{20pt}
+
+\newenvironment{precondition}
+  {\par\medskip\adjustwidth{\Thmindent}{}\normalfont\textbf{Voraussetzungen:}\par\nobreak}
+  {\endadjustwidth}
+\newenvironment{claim}
+  {\par\medskip\adjustwidth{\Thmindent}{}\normalfont\textbf{Behauptung:}}
+  {\endadjustwidth}
+
+\declaretheoremstyle[
+  spaceabove=0pt,spacebelow=0pt,
+  preheadhook=\adjustwidth{\Thmindent}{},
+  prefoothook=\endadjustwidth,
+  headpunct=:,
+  numbered=no,
+  qed=\qedsymbol
+]{proof}
+\declaretheorem[style=proof,name=Beweis]{Proof}
+
+\theoremstyle{plain}
+\newtheorem{theorem}{Satz}
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+% Add some shortcuts                                                %
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\usepackage{pifont}% http://ctan.org/pkg/pifont
+\newcommand{\cmark}{\ding{51}}% a checkmark
+\newcommand{\xmark}{\ding{55}}% a cross
+\usepackage{amsmath}
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 % Begin document                                                    %
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \begin{document}
@@ -166,13 +204,75 @@ Hat eine Ecke den Grad 0, so nennt man ihn \textbf{isoliert}.
 \begin{definition}{Eulerscher Kreis}
 Sei $G$ ein Graph und $A$ ein Kreis in $G$.
 
-$A$ heißt \textbf{eulerscher Kreis} $:\Leftrightarrow \forall_{e \in E}: e \in A$.
+$A$ heißt \textbf{eulerscher Kreis} $:\Leftrightarrow \forall_{k \in K}: k \in A$.
 \end{definition}
 
 \begin{definition}{Eulerscher Graph}
 Ein Graph heißt \textbf{eulersch}, wenn er einen eulerschen Kreis enthält.
 \end{definition}
 
+\begin{theorem}{Euler 1736}
+    ~~~
+    \begin{precondition}
+        Sei $G = (E, K)$ ein Graph.
+    \end{precondition}
+    \begin{claim}
+        Wenn ein Graph $G$ eulersch ist, dann hat jede Ecke von $G$ geraden Grad.
+    \end{claim}
+    \begin{Proof} Direkt\\
+        Sei $C = (e_0, \dots, e_n, e_0)$ ein Eulerkreis in $G$
+        $\Rightarrow $ Es gilt: $\forall e \in E \exists i \in \Set{0, \dots, n}: e = e_i$ und alle Kanten aus $G$ sind genau ein mal in $C$.\\
+        Außerdem gilt: 
+        \[\text{Grad}(e_i) = \begin{cases}
+            2 \cdot \text{Anzahl der vorkommen von } e_i \text{in } C & \text{falls } i\neq 0\\
+            2 \cdot (\text{Anzahl der vorkommen von } e_i -1) \text{in } C & \text{falls } i = 0\\
+        \end{cases}
+        \]
+        $\Rightarrow \forall e \in E: \text{Grad}(e)$ ist gerade 
+    \end{Proof}
+\end{theorem}
+
+\begin{theorem}{Umkehrung des Satzes von Euler}
+    ~~~
+    \begin{precondition}
+        Sei $G = (E, K)$ ein zusammenhängender Graph.
+    \end{precondition}
+    \begin{claim}
+        Wenn jede Ecke von $G$ geraden Grad hat, dann ist $G$ eulersch.
+    \end{claim}
+    \begin{Proof} über Induktion über Anzahl $m$ der Kanten\\
+        \underline{I.A.:} $m=0$: $G$ ist eulersch. \cmark\\
+        $m=1$: Es gibt keinen Graphen in dem jede Ecke geraden Grad hat. \cmark\\
+        $m=2$: Nur ein Graph ist zusammenhängend, hat zwei Kanten und nur Ecken geraden Grades. Dieser ist eulersch. \cmark
+
+        \underline{I.V.:} Sei $m \in \mathbb{N}_0$ beliebig, aber fest und 
+        es gelte: 
+
+        Für alle zusammenhängenden Graphen $G$ mit höchstens $m$ Kanten, bei denen jede Ecke geraden Grad hat, ist $G$ eulersch.
+
+        \underline{I.S.:} Sei $G=(E,K)$ mit $2 \leq m  = |K|$ ein zusammenhängender Graph, der nur Ecken geraden Grades hat.\\
+        $\Rightarrow$ Jede Ecke von $G$ hat min. Grad 2.
+        $\stackrel{A5}{\Rightarrow}$ Es gibt einen Kreis $C$ in $G$.\\
+
+        Sei nun 
+            \[G_C = (E_C, K_C) \text{ mit } E_C \subseteq E \text{ und } K_C \subseteq K \]
+        der Graph, der durch $C$ induziert wird.
+        Sei 
+
+            \[ G^* = (E, K \setminus K_C) \]
+
+        Es gilt: 
+        \begin{itemize}
+            \item Jede Ecke in $G^*$ hat geraden Grad
+            \item Jede Zusammenhangskomponente (Zshk) hat weniger als $m$ Knoten
+            \item[$\Rightarrow$] IV ist auf jede Zshk anwendbar
+            \item[$\Rightarrow$] Jede Zshk hat einen Eulerkreis
+            \item[$\Rightarrow$] Man kann den Kreis $C$ durch die Eulerkreise erweitern und erhält insgesamt einen Eulerkreis
+        \end{itemize}
+        $\Rightarrow$ $G$ ist eulersch 
+    \end{Proof}
+\end{theorem}
+
 \begin{definition}{Offene eulersche Linie}
 Sei $G$ ein Graph und $A$ ein Weg, der kein Kreis ist.
 
@@ -180,4 +280,26 @@ $A$ heißt \textbf{offene eulersche Linie} von $G :\Leftrightarrow$ Jede Kante
 in $G$ kommt genau ein mal in $A$ vor.
 \end{definition}
 
+\begin{theorem}{Satz 8.2.3}
+    ~~~
+    \begin{precondition}
+        Sei $G = (E, K)$ ein zusammenhängender Graph.
+    \end{precondition}
+    \begin{claim}
+        $G$ hat eine offene eulersche Linie $:\Leftrightarrow G$ hat genau zwei Ecken ungeraden Grades
+    \end{claim}
+    \begin{Proof} Direkt von \enquote{$\Rightarrow$}, Rückrichtung \enquote{$\Leftarrow$} analog\\
+        Sei $L=(e_0, \dots, e_s)$ in $G$  eine offene eulerschle Linie in $G$.\\
+        $\Leftrightarrow G^* = (E, K \cup \Set{e_s, e_0})$ hat einen Eulerkreis\\
+        $\Leftrightarrow G^*$ hat nur Knoten geraden Grades\\
+        $\Leftrightarrow G$ hat genau zwei Knoten ($e_0, e_s$) ungeraden Grades
+    \end{Proof}
+\end{theorem}
+
+
+Alle \LaTeX-Quellen und die neueste Version der PDF sind unter
+
+\href{https://github.com/MartinThoma/LaTeX-examples/tree/master/presentations/Diskrete-Mathematik}{github.com/MartinThoma/LaTeX-examples/tree/master/presentations/Diskrete-Mathematik}
+
+zu finden
 \end{document}

presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/Ende.tex

@@ -1,14 +1,173 @@
-\subsection{Weitere Aufgaben}
+\subsection{Aufgabe 3}
 \begin{frame}{Aufgabe 3}
 Zeigen Sie: Ein Kreis ist genau dann bipartit, wenn er gerade Länge hat.
 \end{frame}
 
-% TODO
+\pgfdeclarelayer{background}
+\pgfsetlayers{background,main}
+\begin{frame}{Aufgabe 3 - Lösung}
+Idee: Knoten abwechselnd färben
+
+    \tikzstyle{selected edge} = [draw,line width=5pt,-,black!50]
+    \begin{center}
+    \adjustbox{max size={\textwidth}{0.8\textheight}}{
+    \begin{tikzpicture}
+        \node[vertex] (a) at (0,0) {};
+        \node[vertex] (b) at (2,0) {};
+        \node[vertex] (c) at (2,2) {};
+        \node[vertex] (d) at (0,2) {};
+        \node[vertex] (e) at (1,4) {};
+
+        \draw (a) -- (b) -- (c) -- (e) -- (d) -- (a);
+
+        \node<2->[vertex, red] (a) at (0,0) {};
+        \node<3->[vertex, blue] (b) at (2,0) {};
+        \node<4->[vertex, red] (c) at (2,2) {};
+        \node<5->[vertex, blue] (e) at (1,4) {};
+        \node<6->[vertex, red] (d) at (0,2) {};
+
+        \begin{pgfonlayer}{background}
+            \path<3->[selected edge] (a.center) edge node {} (b.center);
+            \path<4->[selected edge] (b.center) edge node {} (c.center);
+            \path<5->[selected edge] (c.center) edge node {} (e.center);
+            \path<6->[selected edge] (e.center) edge node {} (d.center);
+            \path<7->[selected edge,lime] (d.center) edge node {} (a.center);
+        \end{pgfonlayer}
+    \end{tikzpicture}
+    }
+    \end{center}
+\end{frame}
+
+\subsection{Aufgabe 4}
+\begin{frame}{Aufgabe 4}
+Zeigen Sie: Ein Graph $G$ ist genau dann bipartit, wenn er nur Kreise
+gerade Länge hat.
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Aufgabe 4: Lösung, Teil 1}
+\underline{Vor.:} Sei $G = (E, K)$ ein zus. Graph. \pause
+
+\underline{Beh.:} $G$ ist bipartit $\Rightarrow G$ hat keine Kreis ungerader Länge \pause
+
+\underline{Bew.:} durch Widerspruch \pause
+
+\underline{Annahme:} $G$ hat Kreis ungerader Länge \pause
+
+$\xRightarrow[]{A.4}$ Ein Subgraph von $G$ ist nicht bipartit \pause
+
+$\Rightarrow$ Widerspruch zu \enquote{$G$ ist bipartit} \pause
+
+$\Rightarrow$ $G$ hat keinen Kreis ungerader Länge $\blacksquare$
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Aufgabe 4: Lösung, Teil 2}
+\underline{Vor.:} Sei $G = (E, K)$ ein zus. Graph. \pause
+
+\underline{Beh.:} $G$ hat keinen Kreis ungerader Länge $\Rightarrow G$ ist bipartit \pause
+
+\underline{Bew.:} Konstruktiv \pause
+
+Färbe Graphen mit Breitensuche $\blacksquare$
+\end{frame}
+
+\pgfdeclarelayer{background}
+\pgfsetlayers{background,main}
+\begin{frame}{Aufgabe 4 - Beispiel}
+    \tikzstyle{selected edge} = [draw,line width=5pt,-,black!50]
+    \begin{center}
+    \adjustbox{max size={\textwidth}{0.8\textheight}}{
+    \begin{tikzpicture}
+        \node[vertex] (a) at (1,1) {};
+        \node[vertex] (b) at (2,0) {};
+        \node[vertex] (c) at (4,0) {};
+        \node[vertex] (d) at (1,2) {};
+        \node[vertex] (e) at (2,2) {};
+        \node[vertex] (f) at (3,2) {};
+        \node[vertex] (g) at (2,4) {};
+        \node[vertex] (h) at (3,3) {};
+        \node[vertex] (i) at (4,2) {};
+        \node[vertex] (j) at (1,3) {};
+
+        \draw (a) -- (b);
+        \draw (a) -- (d);
+        \draw (b) -- (e);
+        \draw (b) -- (c);
+        \draw (c) -- (f);
+        \draw (d) -- (e);
+        \draw (d) -- (j);
+        \draw (e) -- (f);
+        \draw (f) -- (i);
+        \draw (g) -- (j);
+        \draw (g) -- (h);
+
+        \node<2->[vertex, red]  (a) at (1,1) {};
+        \node<3->[vertex, blue] (b) at (2,0) {};
+        \node<3->[vertex, blue] (d) at (1,2) {};
+        \node<4->[vertex, red]  (c) at (4,0) {};
+        \node<4->[vertex, red]  (e) at (2,2) {};
+        \node<4->[vertex, red]  (j) at (1,3) {};
+        \node<5->[vertex, blue] (f) at (3,2) {};
+        \node<5->[vertex, blue] (g) at (2,4) {};
+        \node<6->[vertex, red]  (h) at (3,3) {};
+        \node<6->[vertex, red]  (i) at (4,2) {};
+
+        \begin{pgfonlayer}{background}
+            \path<3->[selected edge] (a.center) edge node {} (b.center);
+            \path<3->[selected edge] (a.center) edge node {} (d.center);
+            \path<4->[selected edge] (b.center) edge node {} (c.center);
+            \path<4->[selected edge] (b.center) edge node {} (e.center);
+            \path<4->[selected edge] (d.center) edge node {} (j.center);
+            \path<4->[selected edge] (d.center) edge node {} (e.center);
+            \path<5->[selected edge] (j.center) edge node {} (g.center);
+            \path<5->[selected edge] (e.center) edge node {} (f.center);
+            \path<5->[selected edge] (c.center) edge node {} (f.center);
+            \path<6->[selected edge] (g.center) edge node {} (h.center);
+            \path<6->[selected edge] (f.center) edge node {} (i.center);
+        \end{pgfonlayer}
+    \end{tikzpicture}
+    }
+    \end{center}
+\end{frame}
+
+\subsection{Aufgabe 9}
+\begin{frame}{Aufgabe 9, Teil 1}
+Im folgenden sind die ersten drei Graphen $G_1, G_2, G_3$ einer
+Folge $(G_n)$ aus Graphen abgebildet. Wie sieht $G_4$ aus?
+
+\begin{gallery}
+    \galleryimage{graphs/triangular-1}
+    \galleryimage{graphs/triangular-2}
+    \galleryimage{graphs/triangular-3}
+\end{gallery}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Aufgabe 9, Teil 2}
+Wieviele Ecken / Kanten hat $G_n = (E_n, K_n)$?
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Aufgabe 9, Teil 2: Antwort}
+Ecken:
+
+\[|E_n| = |E_{n-1}| + (n+1) = \sum_{i=1}^{n+1} = \frac{n^2 + 2n+2}{2}\]
+
+Kanten:
+
+\begin{align}
+|K_n| &= |K_{n-1}| + \underbrace{((n+1)-1)+2}_{\text{außen}} + (n-1) \cdot 2\\
+    &= |K_{n-1}| + n+2+2n-2\\
+    &= |K_{n-1}| + 3n\\
+    &= \sum_{i=1}^{n} 3i = 3 \sum_{i=1}^{n} i \\
+    &= 3 \frac{n^2 + n}{2}
+\end{align}
+\end{frame}
+
+
 
 \subsection{Bildquelle}
 \begin{frame}{Bildquelle}
 \begin{itemize}
     \item \href{http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Konigsberg\_bridges.png}{http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Konigsberg\_bridges.png}
+    \item \href{http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Unit\_disk\_graph.svg}{http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Unit\_disk\_graph.svg}
     \item \href{http://goo.gl/maps/WnXRh}{Google Maps} (Grafiken \TCop 2013 Cnes/Spot Image, DigitalGlobe)
 \end{itemize}
 \end{frame}

presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/Grundlagen.tex

@@ -28,12 +28,37 @@ Kantenmenge bezeichnet.
 
 \end{frame}
 
+\framedgraphic{Modellierung, Flüsse, Netzwerke}{../images/Unit_disk_graph.png}
+\framedgraphic{Karten}{../images/map.png}
+
 \begin{frame}{Isomorphe Graphen}
 \begin{center}
 \href{http://www.martin-thoma.de/uni/graph.html}{martin-thoma.de/uni/graph.html}
 \end{center}
 \end{frame}
 
+\begin{frame}{Grad einer Ecke}
+\begin{block}{Grad einer Ecke}
+Der \textbf{Grad} einer Ecke ist die Anzahl der Kanten, die von dieser Ecke
+ausgehen.
+\end{block}
+
+\begin{block}{Isolierte Ecke}
+Hat eine Ecke den Grad 0, so nennt man ihn \textbf{isoliert}.
+\end{block}
+
+\begin{gallery}
+    \galleryimage{graphs/graph-1}
+    \galleryimage{graphs/graph-2}
+    \galleryimage{graphs/k-3-3}
+    \galleryimage{graphs/k-5}\\
+    \galleryimage{graphs/k-16}
+    \galleryimage{graphs/graph-6}
+    \galleryimage{graphs/star-graph}
+    \galleryimage{graphs/tree}
+\end{gallery}
+\end{frame}
+
 \begin{frame}{Aufgabe 1}
 Zeichnen Sie alle Graphen mit genau vier Ecken.
 
@@ -45,10 +70,10 @@ Zeichnen Sie alle Graphen mit genau vier Ecken.
         \galleryimage{aufgabe-1/graph-11}   % zwei Kanten -------------
         \galleryimage{aufgabe-1/graph-12}   % drei Kanten: umgedrehtes u
         \galleryimage{aufgabe-1/graph-5}    % drei Kanten
-        \galleryimage[red]{aufgabe-1/graph-4}    % drei Kanten: 
+        \galleryimage[red]{aufgabe-1/graph-4}    % drei Kanten: S3 - fehlt im Buch
         \galleryimage{aufgabe-1/graph-10}   % vier Kanten: Viereck
-        \galleryimage[red]{aufgabe-1/graph-2}
         \galleryimage{aufgabe-1/graph-3}    % vier Kanten: Dreieck mit Spitze
+        \galleryimage[red]{aufgabe-1/graph-2} % fünf kanten - fehlt im Buch
         \galleryimage{aufgabe-1/graph-9}    %  fünf Kanten: nur Diagonale fehlt
         \galleryimage{aufgabe-1/graph-1}    % sechs Kanten: K_4
     \end{gallery}

presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/Koenigsberger-Brueckenproblem.tex

@@ -18,7 +18,7 @@
 \begin{block}{Eulerscher Kreis}
 Sei $G$ ein Graph und $A$ ein Kreis in $G$.
 
-$A$ heißt \textbf{eulerscher Kreis} $:\Leftrightarrow \forall_{e \in E}: e \in A$.
+$A$ heißt \textbf{eulerscher Kreis} $:\Leftrightarrow \forall_{k \in K}: k \in A$.
 \end{block}
 
 \begin{block}{Eulerscher Graph}
@@ -26,6 +26,22 @@ Ein Graph heißt \textbf{eulersch}, wenn er einen eulerschen Kreis enthält.
 \end{block}
 \end{frame}
 
+\begin{frame}{Hamiltonkreis}
+ACHTUNG, VERWECHSLUNGSGEFAHR:
+
+\begin{block}{Hamiltonkreis}
+Sei $G$ ein Graph und $A$ ein Kreis in $G$.
+
+$A$ heißt \textbf{Hamilton-Kreis} $:\Leftrightarrow \forall_{e \in E}: e \in A$.
+\end{block}
+
+\begin{block}{Eulerscher Kreis}
+Sei $G$ ein Graph und $A$ ein Kreis in $G$.
+
+$A$ heißt \textbf{eulerscher Kreis} $:\Leftrightarrow \forall_{k \in K}: k \in A$.
+\end{block}
+\end{frame}
+
 \pgfdeclarelayer{background}
 \pgfsetlayers{background,main}
 \begin{frame}{Eulerscher Kreis}
@@ -62,6 +78,55 @@ Ein Graph heißt \textbf{eulersch}, wenn er einen eulerschen Kreis enthält.
     \end{center}
 \end{frame}
 
+\pgfdeclarelayer{background}
+\pgfsetlayers{background,main}
+\begin{frame}{Hamilton-Kreis, kein EK}
+    \begin{center}
+    \adjustbox{max size={\textwidth}{0.8\textheight}}{
+      \begin{tikzpicture}
+          \node (a)[vertex] at (0,0) {};
+          \node (b)[vertex] at (2,0) {};
+          \node (c)[vertex] at (2,2) {};
+          \node (d)[vertex] at (0,2) {};
+
+          \foreach \from/\to in {a/b,b/c,c/d,d/a,a/c,b/d}
+            \draw[line width=2pt] (\from) -- (\to);
+
+        \node<2->[vertex,red] (a) at (0,0) {};
+        \node<3->[vertex,red] (b) at (2,0) {};
+        \node<4->[vertex,red] (c) at (2,2) {};
+        \node<5->[vertex,red] (d) at (0,2) {};
+        \begin{pgfonlayer}{background}
+            \path<3->[selected edge,black!50] (a.center) edge node {} (b.center);
+            \path<4->[selected edge,black!50] (b.center) edge node {} (c.center);
+            \path<5->[selected edge,black!50] (c.center) edge node {} (d.center);
+            \path<6->[selected edge,black!50] (d.center) edge node {} (a.center);
+        \end{pgfonlayer}
+      \end{tikzpicture}
+    }
+    \end{center}
+\end{frame}
+
+\pgfdeclarelayer{background}
+\pgfsetlayers{background,main}
+\begin{frame}{Eulerkreis, kein HK}
+    \begin{center}
+    \adjustbox{max size={\textwidth}{0.8\textheight}}{
+      \begin{tikzpicture}
+          \node (a)[vertex] at (0,0) {};
+          \node (b)[vertex] at (2,0) {};
+          \node (c)[vertex] at (2,2) {};
+          \node (d)[vertex] at (0,2) {};
+          \node (e)[vertex] at (1,1) {};
+
+          \foreach \from/\to in {a/b,b/c,c/d,d/a,b/e,e/d}
+            \draw[line width=2pt] (\from) -- (\to);
+          \draw[line width=2pt] (b) to[bend right] (d);
+      \end{tikzpicture}
+    }
+    \end{center}
+\end{frame}
+
 \subsection{Satz von Euler}
 \begin{frame}{Satz von Euler}
 \begin{block}{Satz von Euler}
@@ -99,7 +164,7 @@ ist $G$ eulersch.
 \pause
 $m=1$: Es gibt keinen Graphen in dem jede Ecke geraden Grad hat. \cmark\\
 \pause
-$m=2$: Nur ein zus. Graph möglich. Dieser ist eulersch. \cmark\\ % Anzeichnen
+$m=2$: Nur ein Graph möglich. Dieser ist eulersch. \cmark\\ % Anzeichnen
 \pause
 
 \underline{I.V.:} Sei $m \in \mathbb{N}_0$ beliebig, aber fest und 
@@ -109,11 +174,35 @@ denen jede Ecke geraden Grad hat, ist $G$ eulersch.
 
 \pause
 
-\underline{I.S.:} Jede Ecke von $G$ hat min. Grad 2.
+\underline{I.S.:} Sei $G=(E,K)$ mit $2 \leq m  = |K|$. $G$ ist zus. \pause
+$\Rightarrow$ Jede Ecke von $G$ hat min. Grad 2. \pause
+$\xRightarrow[]{A. 5}$ Es gibt einen Kreis $C$ in $G$.\pause
 
+\dots
 
 \end{frame}
 
+\begin{frame}{Umkehrung des Satzes von Euler}
+\begin{block}{Umkehrung des Satzes von Euler}
+Wenn in einem zusammenhängenden Graphen $G$ jede Ecke geraden Grad hat, dann 
+ist $G$ eulersch.
+\end{block}
+\dots
+
+Sei
+\[G_C = (E_C, K_C) \]
+Graph zu Kreis $C$ und
+
+\[G^* = (E, K \setminus K_C).\] \pause
+$\Rightarrow$ Alle Knoten jeder Zusammenhangskomponente in $G^*$ haben geraden Grad\\
+\pause
+$\xRightarrow[]{IV}$ Alle $n$ Zhsgk. haben Eulerkreise $C_1, \dots, C_n$\\
+\pause
+$\Rightarrow$ $C_1, \dots, C_n$ können in $C$ \enquote{eingehängt} werden\\
+\pause
+$\Rightarrow G$ ist eulersch\pause $\Rightarrow $ Beh.
+\end{frame}
+
 \begin{frame}{Offene eulersche Linie}
 \begin{block}{Offene eulersche Linie}
 Sei $G$ ein Graph und $A$ ein Weg, der kein Kreis ist.
@@ -141,10 +230,13 @@ Sei $G=(E, K)$ ein zusammenhängender Graph und $L = (e_0, \dots, e_s)$ eine off
 eulersche Linie. \pause
 Sei $G^* = (E, K \cup \Set{e_s, e_0})$. \pause
 Es gibt einen Eulerkreis in $G^*$ \pause \\
-$\xRightarrow{\text{Satz von Euler}}$ In $G^*$ hat jede Ecke geraden Grad \pause \\
+$\xLeftrightarrow{\text{Satz von Euler}}$ In $G^*$ hat jede Ecke geraden Grad \pause \\
 Der Grad von nur zwei Kanten wurde um jeweils 1 erhöht \pause \\
-$\Rightarrow$ in $G$ haben genau 2 Ecken ungeraden Grad $\blacksquare$
+$\Leftrightarrow$ in $G$ haben genau 2 Ecken ungeraden Grad. Diese heißen $e_0, e_s$. $\blacksquare$
 \end{block}
+
+\pause
+Rückrichtung analog
 \end{frame}
 
 \pgfdeclarelayer{background}

presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/Makefile

@@ -1,7 +1,6 @@
 SOURCE = Graphentheorie-I
 
 make:
-	#latexmk -pdf -pdflatex="pdflatex -interactive=nonstopmode" -use-make $(SOURCE).tex
 	pdflatex -shell-escape $(SOURCE).tex -output-format=pdf # shellescape wird fürs logo benötigt
 	pdflatex -shell-escape $(SOURCE).tex -output-format=pdf # nochmaliges ausführen wegen Inhaltsverzeichnissen
 	make clean

presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/Strukturen.tex

@@ -149,25 +149,3 @@ Es ex. ein Kantenzug, der $e_1$ und $e_2$ verbindet
     \galleryimage[Green]{graphs/tree}
 \end{gallery}
 \end{frame}
-
-\begin{frame}{Grad einer Ecke}
-\begin{block}{Grad einer Ecke}
-Der \textbf{Grad} einer Ecke ist die Anzahl der Kanten, die von dieser Ecke
-ausgehen.
-\end{block}
-
-\begin{block}{Isolierte Ecke}
-Hat eine Ecke den Grad 0, so nennt man ihn \textbf{isoliert}.
-\end{block}
-
-\begin{gallery}
-    \galleryimage{graphs/graph-1}
-    \galleryimage{graphs/graph-2}
-    \galleryimage{graphs/k-3-3}
-    \galleryimage{graphs/k-5}\\
-    \galleryimage{graphs/k-16}
-    \galleryimage{graphs/graph-6}
-    \galleryimage{graphs/star-graph}
-    \galleryimage{graphs/tree}
-\end{gallery}
-\end{frame}

presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/bipartit-algorithm.tex

@@ -0,0 +1,21 @@
+\documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone}
+\usepackage{tikz}
+\usetikzlibrary{arrows,positioning} 
+\tikzset{
+    %Define standard arrow tip
+    >=stealth',
+    % Define arrow style
+    pil/.style={->,thick}
+}
+
+\begin{document}
+  \begin{tikzpicture}
+      \node (a)[vertex] at (0,8) {$a$};
+      \node (b)[vertex] at (0,4) {$b$};
+      \node (c)[vertex] at (0,0) {$c$};
+      \node (d)[vertex] at (4,4) {$d$};
+
+      \foreach \from/\to/\pos in {a/b/20,a/b/-20,a/d/0,b/c/20,b/c/-20,b/d/0,c/d/0}
+        \draw[line width=2pt] (\from) to [bend left=\pos] (\to);
+  \end{tikzpicture}
+\end{document}

presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/euler-nicht-hamilton.tex

@@ -0,0 +1,22 @@
+\documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone}
+\usepackage{tikz}
+\usetikzlibrary{arrows,positioning} 
+\tikzset{
+    %Define standard arrow tip
+    >=stealth',
+    % Define arrow style
+    pil/.style={->,thick}
+}
+
+\begin{document}
+  \begin{tikzpicture}
+      \node (a)[vertex] at (0,0) {};
+      \node (b)[vertex] at (2,0) {};
+      \node (c)[vertex] at (2,2) {};
+      \node (d)[vertex] at (0,2) {};
+      \node (d)[vertex] at (1,1) {};
+
+      \foreach \from/\to in {a/b,b/c,c/d,d/a,b/e,e/d}
+        \draw[line width=2pt] (\from) -- (\to);
+  \end{tikzpicture}
+\end{document}

presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/hamilton-nicht-euler.tex

@@ -0,0 +1,21 @@
+\documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone}
+\usepackage{tikz}
+\usetikzlibrary{arrows,positioning} 
+\tikzset{
+    %Define standard arrow tip
+    >=stealth',
+    % Define arrow style
+    pil/.style={->,thick}
+}
+
+\begin{document}
+  \begin{tikzpicture}
+      \node (a)[vertex] at (0,0) {};
+      \node (b)[vertex] at (0,1) {};
+      \node (c)[vertex] at (1,0) {};
+      \node (d)[vertex] at (0,1) {};
+
+      \foreach \from/\to in {a/b,b/c,c/d,d/a,a/c,b/d}
+        \draw[line width=2pt] (\from) -- (\to);
+  \end{tikzpicture}
+\end{document}

presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/triangular-1.tex

@@ -0,0 +1,19 @@
+% A complete graph
+% Author: Quintin Jean-Noël
+% <http://moais.imag.fr/membres/jean-noel.quintin/>
+\documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone}
+\usepackage[nomessages]{fp}% http://ctan.org/pkg/fp
+\usepackage{tikz}
+\usetikzlibrary[topaths]
+
+
+\begin{document}
+    \newcommand\n{5}
+    \begin{tikzpicture}
+        \node[vertex] (N1) at (0,0) {};
+        \node[vertex] (N2) at (2,0) {};
+        \node[vertex] (N3) at (1,1) {};
+
+        \draw (N1) -- (N3) -- (N2) -- (N1);
+    \end{tikzpicture}
+\end{document}

presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/triangular-2.tex

@@ -0,0 +1,21 @@
+% A complete graph
+% Author: Quintin Jean-Noël
+% <http://moais.imag.fr/membres/jean-noel.quintin/>
+\documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone}
+\usepackage[nomessages]{fp}% http://ctan.org/pkg/fp
+\usepackage{tikz}
+\usetikzlibrary[topaths]
+
+
+\begin{document}
+    \begin{tikzpicture}
+        \node[vertex] (N1) at (0,0) {};
+        \node[vertex] (N2) at (2,0) {};
+        \node[vertex] (N3) at (4,0) {};
+        \node[vertex] (N4) at (1,1) {};
+        \node[vertex] (N5) at (3,1) {};
+        \node[vertex] (N6) at (2,2) {};
+
+        \draw (N1) -- (N4) -- (N2) -- (N5) -- (N4) -- (N6) -- (N5) -- (N3) -- (N2) -- (N1);
+    \end{tikzpicture}
+\end{document}

presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/triangular-3.tex

@@ -0,0 +1,25 @@
+% A complete graph
+% Author: Quintin Jean-Noël
+% <http://moais.imag.fr/membres/jean-noel.quintin/>
+\documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone}
+\usepackage[nomessages]{fp}% http://ctan.org/pkg/fp
+\usepackage{tikz}
+\usetikzlibrary[topaths]
+
+
+\begin{document}
+    \begin{tikzpicture}
+        \node[vertex] (N1) at (0,0) {};
+        \node[vertex] (N2) at (2,0) {};
+        \node[vertex] (N3) at (4,0) {};
+        \node[vertex] (N4) at (6,0) {};
+        \node[vertex] (N5) at (1,1) {};
+        \node[vertex] (N6) at (3,1) {};
+        \node[vertex] (N7) at (5,1) {};
+        \node[vertex] (N8) at (2,2) {};
+        \node[vertex] (N9) at (4,2) {};
+        \node[vertex] (N10) at (3,3) {};
+
+        \draw (N1) -- (N5) -- (N2) -- (N6) -- (N3) -- (N7) -- (N6) -- (N5) -- (N8) -- (N6) -- (N9) -- (N8) -- (N10) -- (N9) -- (N7) -- (N4) -- (N3) -- (N2) -- (N1);
+    \end{tikzpicture}
+\end{document}

presentations/Diskrete-Mathematik/templates/myStyle.sty

@@ -135,3 +135,5 @@
 \tikzstyle{selected edge} = [draw,line width=5pt,-,red!50]
 \def\TCop{\textsuperscript{\textcopyright}} % Copyright-sign
 \usepackage{mathtools}
+
+\usepackage{csquotes}