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@@ -0,0 +1,519 @@
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+
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+\chapter{Absch"atzungen und N"aherungen}
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+\section{Absch"atzungen}
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+Die Ergebnisse des vorigen Abschnittes sind deswegen etwas unbefriedigend, weil die angestrebte Zerlegung nur in
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+Spezialf"allen m"oglich ist. Im allgemeinen Fall m"ussen wir uns darauf beschr"anken, Absch"atzungen und
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+n"aherungsweise L"osungen zu finden.
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+
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+Wir gehen wieder von unserer Rekursionsgleichung aus:
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+\[w_{n+1} = (w_{n}+u_{n})_{+} \]
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+Wir f"uhren eine neue Zufallsvariable $y_{n}$ ein, die den entsprechenden Negativteil darstellt:
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+\[y_{n} = (w_{n}+u_{n})_{-} ~ ~ ~ ~ ~ ((x)_{-} := (-x)_{+}) ~. \]
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+Damit erhalten wir
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+\[ w_{n+1}-y_{n} = w_{n}+u_{n} ~.\]
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+Das gibt f"ur die Erwartungswerte:
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+\[\E(w_{n+1})-\E(y_{n}) = \E(w_{n})+\E(u_{n}) ~.\]
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+F"ur $n$ $\rightarrow$ $\infty$ ergibt sich
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+\[-\E(y) = \E(u) = \E(x) - \E(t) \qquad \mbox{oder} \qquad \E(y) = \E(t) - \E(x) ~.\]
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+Leider haben wir keine Beziehung f"ur die Wartezeit (Anmerkung: in den letzten Gleichungen steht nur eine Beziehung f"ur die Verteilungen).
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+
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+Als n"achstes quadrieren wir die Ausgangsgleichung
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+\[ w_{n+1}^{2}+y_{n}^{2}-2w_{n+1}y_{n}=w_{n}^{2}+2w_{n}u_{n}+u_{n}^{2} ~.\]
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+Wegen \( (x)_{+}(x)_{-} = 0 \) ist \( w_{n+1}y_{n} = 0 ~,\) also
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+\[w_{n+1}^2 + y_{n}^2 = w_{n}^2+2w_{n}u_{n}+u_{n}^2 ~.\]
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+Wenn wir wieder die Erwartungswerte berchnen und \(n \rightarrow \infty \) gehen lassen, so ergibt sich
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+\begin{eqnarray*}
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+\E(w^{2})+\E(y^{2})&=&\E(w^{2})+2\E(wu)+\E(u^{2}) = \\
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+ &=&\E(w^{2})+2\E(w)\E(u)+\E(u^{2}) \\
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+\end{eqnarray*}
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+($w_{n}$ und $u_{n}$ sind ja unabh"angig).
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+
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+Schlie"slich haben wir
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+\[\E(w) = \frac{\E(u^{2})-\E(y^{2})}{-2\E(u)} \qquad [\E(u) \mbox{ ist ja negativ}] ~.\]
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+Wir erhalten eine obere Absch"atzung, wenn wir $\E(y^{2})$ nach unten absch"atzen. Dazu verhilft uns die Ungleichung
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+\[\E(y^{2}) \geq (\E(y))^{2} = (\E(u))^{2} \qquad \mbox{also }\]
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+\[\E(w^{2}) \leq \frac{{\bf Var}(u)}{-2\E(u)} = \frac{{\bf Var}(x)+{\bf Var}(t)}{-2\E(u)} ~.\]
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+F"ur eine obere Absch"atzung f"ur $\E(y^{2})$ beachten wir, da"s
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+\[y=(w+u)_{-} \leq (u)_{-} \quad \mbox{da} \quad w \geq 0 ~.\]
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+Wegen$ \quad u^{2} = ((u)_{+}-(u)_{-})^{2} = ((u)_{+})^{2}+((u)_{-})^{2} \quad $erhalten wir
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+\[\E(w) \geq \frac{(\E((u)_{+}))^{2}}{-2\E(u)} ~.\]
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+Ein weiterer Weg, eine untere Absch"atzung zu finden ist folgender:
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+\[\E(w_{n+1}) = \E(w_{n}+u_{n})_{+} = \E[\E((w_{n}+u_{n})_{+}\vert w_{n})] ~.\]
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+Wenn wir f"ur die Verteilungsfunktion von $u_{n}$
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+\[C(y)=\PP(u_{n} \leq y) \]
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+setzen, erhalten wir
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+\[\E((w_{n}+u_{n})_{+} \vert w_{n} = y) = \int_{-y}^{\infty}(u+z)dC(z) = \int_{-y}^{\infty}(1-C(z))dz =: g(y) ~.\]
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+Also
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+\[\E(w_{n+1}) = \E(g(w_{n}))\]
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+$g$ ist konvex ($g'$ ist monoton), also k"onnen wir die JENSEN'sche Ungleichung anwenden:
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+\[\E(g(w_{n})) \geq g(\E(w_{n}))~.\]
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+F"ur $n \rightarrow \infty$ ergibt sich
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+\[\E(w) \geq g(\E(w)) ~.\]
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+Wir betrachten die Gleichung
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+\[g(y) = y ~.\]
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+Die Funktion $y-g(y)$ hat die Ableitung $G(-y) \geq 0$, ist also monoton.\\
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+Weiters ist $g(0) = \E((u_{n})_{+}) > 0 \mbox{ falls } W(u_{n} > 0) > 0$ ist (andernfalls ist $w = 0$).\\
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+F"ur $n \rightarrow \infty$ ist $g(y) \rightarrow \E(u) < 0$, es gibt also eine eindeutig bestimmte L"osung $y_{0}$, f"ur die $g(y_{0}) = y_{o}$, und
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+\[\E(w) \geq g(y_{o}) ~.\]
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+
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+\section{N"aherungen}
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+\bigskip
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+"Ahnlich wie die Absch"atzungen des vorigen Kapitels sollen uns die N"aherungen dieses Abschnittes dazu dienen, ungef"ahre Aussagen "uber das qualitative
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+Verhalten einer Warteschlange zu treffen. Eine M"oglichkeit besteht darin, die auftretenden Verteilungen durch solche zu ersetzen, f"ur die wir exakte Ergebnisse
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+kennen. Dazu k"onnen wir etwa folgende Klassen von Verteilungen verwenden:
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+\begin{enumerate}
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+
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+\item {\bf Verteilungen mit rationaler Laplacetransformation}
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+
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+Man kann jede Verteilung durch Verteilungen mit rationalen Laplacetransformationen ann"ahern. F"ur diese Verteilungen kann \\
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+ man die Spektralzerlegung f"ur $G/G/1$ 'leicht' durchf"uhren: \\
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+man findet die Nullstellen von Z"ahler und Nenner und ordnet sie, je nachdem in welcher Halbebene sie liegen, entweder
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+der Funktion $\Psi^{+}$ oder $\Psi^{-}$zu.
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+
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+\item {\bf Diskrete Verteilungen}
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+
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+"Ahnlich wie unter $1.$ kann man jede Verteilung durch eine diskrete Verteilung ann"ahern. Das folgende Beispiel zeigt, wie die diskreten Verteilungen behandelt
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+werden k"onnen:\\
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+Es sei
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+\begin{eqnarray*}
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+ \PP(t_{n}=1)=a, \quad \PP(t_{n}=2)=1-a \\
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+ \PP(x_{n}=1)=b, \quad \PP(x_{n}=2)=1-b
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+\end{eqnarray*}
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+[$b>a$].
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+
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+F"ur $u_{n}=x_{n}-t_{n+1}$ ergibt sich:
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+\begin{eqnarray*}
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+ \PP(u_{n}=-1)&=&b(1-a) \\
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+ \PP(u_{n}=1)&=&a(1-b) \\
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+ \PP(u_{n}=0)&=&ab+(1-a)(1-b) ~.
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+\end{eqnarray*}
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+F"ur die station"are Verteilung der Wartezeit $w$ ergibt sich die Rekursion
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+\begin{eqnarray*}
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+ p_{k}&=&a(1-b)p_{k-1}+(ab+(1-a)(1-b))p_{k}+b(1-a)p_{k+1} \\
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+ p_{0}&=&(a(1-b)+ab-(1-a)(1-b))p_{0}+b(1-a)p_{1} ~.
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+\end{eqnarray*}
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+Wir erhalten
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+\begin{eqnarray*}
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+ p_{k}&=&p_{0}\left( \frac{a(1-b)}{b(1-a)}\right)^{k} \\
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+ p_{0}&=&1-\frac{a(1-b)}{b(1-a)}=\frac{b-a}{b(1-a)} ~.\\
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+\end{eqnarray*}
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+Falls wir mehr als zwei m"ogliche Werte f"ur $x$ bzw. $t$ haben, m"ussen wir eine Rekursion h"oherer Ordnung l"osen; dazu sind bekanntlich die Nullstellen des
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+charakteristischen Polynoms zu bestimmen. Auch hier, ebenso wie im im vorigen Abschnitt, reduziert sich also das Problem auf die L"osung einer algebraischen
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+Gleichung. Diese L"osung ist f"ur hohe Polynomgrade nur numerisch m"oglich. Dies und die Tatsache, da"s man nicht genau wei"s, wie eine 'gute' N"aherung zu
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+w"ahlen
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+ist, reduziert die Brauchbarkeit dieser beiden N"aherungen.
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+
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+\item {\bf Approximation f"ur starke Auslastung ('Heavy traffic approximation')}
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+
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+Wir betrachten den Fall $\rho \approx 1$. \\
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+Ausgangspunkt unserer Betrachtungen ist die Spektralzerlegung der $G/G/1$:
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+\[\frac{\Psi^{+}(s)}{\Psi^{-}(s)}=\tilde A (-s)\tilde B (s)-1 ~.\]
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+F"ur $s \rightarrow 0$ erhalten wir daraus die Entwicklung
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+\begin{eqnarray*}
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+ \frac{\Psi^{+}(s)}{\Psi^{-}(s)}&=&(\E(t)-\E(x))s+\frac{s^{2}}{2}\E((x-t)^{2})+o(s^{2})= \\
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+ &=&(1-\rho)s\E(t)+\frac{s^{2}}{2}\E((x-t)^{2})+o(s^{2})= \\
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+ &=&(1-\rho)s\E(t)+\frac{s^{2}}{2}({\bf Var}(x)+{\bf Var}(t)+ \\
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+ &+&(1-\rho)^{2}(\E(t))^{2}) + o(s^{2}) ~.
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+\end{eqnarray*}
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+F"ur $\rho \approx 1$ ist $(1-\rho)^{2}(\E(t))^{2}$ zu vernachl"assigen, also
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+\begin{eqnarray*}
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+ \frac{\Psi^{+}(s)}{\Psi^{-}(s)}&\approx&(1-\rho)s\E(t)+\frac{s^{2}}{2}({\bf Var}(x)+{\bf Var}(t))+o(s^{2}) \approx \\
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+ &\approx&s(s-s_{0}) \frac{{\bf Var}(x)+{\bf Var}(t)}{2} ~.
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+\end{eqnarray*}
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+
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+$\Psi^{+}(s)$ ist in der N"ahe von $0$ stetig, also haben wir
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+\[\Psi^{+}(s) \approx Cs(s-s_{o})\]
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+mit
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+\[s_{0}=-\frac{2(1-\rho)\E(t)}{{\bf Var}(x)+{\bf Var}(t)} \]
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+und
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+\[C=\Psi^{-}(0)\frac{{\bf Var}(x)+{\bf Var}(t)}{2} ~. \]
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+Wir erhalten daraus
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+\[\Phi(s) \approx -\frac{s_{0}}{s(s-s_{0})}=\frac{1}{s}-\frac{1}{s-s_{0}} ~.\]
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+Also ergibt sich f"ur die Verteilungsfunktion der Wartezeit
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+\[ F(y) \approx 1 - e^{-y\frac{2\E(t)(1-\rho)}{{\bf Var}(x)+{\bf Var}(t)}} ~.\]
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+Die Wartezeit ist also n"aherungsweise exponentialverteilt mit Mittel
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+\[\E(w)=\frac{{\bf Var}(x)+{\bf Var}(t)}{2\E(t)(1-\rho)} ~.\]
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+Dieses Ergebnis kann man als \index{Satz!Zentraler Grenzwertsatz f\"{u}r Warteschlangen}'zentralen Grenzwertsatz' f"ur Warteschlangen betrachten.
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+
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+Das Mittel dieser Exponentialverteilung haben wir bereits als obere
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+Absch"atzung f"ur die mittlere Wartezeit erhalten.
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+
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+\item{\bf Die Flussapproximation}
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+
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+Diese N"aherung geht von einer einfachen Idee aus:\\
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+Wir ersetzen die Ank"unfte und Bedienvorg"ange durch konstante Str"ome von $\lambda$ bzw. $\mu$ Kunden
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+pro Zeiteinheit. In unserem Standardmodell $(\lambda < \mu)$ ergibt sich aus dieser N"aherung nat"urlich, da"s die
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+Schlange stets leer ist, was offensichtlich nicht sehr brauchbar ist.
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+
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+F"ur zwei F"alle gibt diese Approximation aber doch interessante Resultate:
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+ \begin{enumerate}
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+ \item Falls $\mu < \lambda$ ist, w"achst die Anzahl der Kunden im System um $(\lambda - \mu)$ Kunden pro Zeiteinheit.
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+ \item Falls $\lambda < \mu$ ist, und falls die Anzahl der Kunden gro"s ist, kann man die Zeit, bis das System wieder leer ist, mit Hilfe dieser
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+ N"aherung berechnen.
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+ \end{enumerate}
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+
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+\item{\bf Die Diffusionsn"aherung}
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+
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+Dies ist wie die vorige N"aherung eine Approximation durch einen kontinuierlichen Proze"s. Diesmal wird auch die Varianz betrachtet.
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+
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+Es sei $N_{a}(u)$ die Anzahl der Kunden, die bis zur Zeit $t$ ankommen.\\
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+Es gilt die Beziehung
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+\[ N_{a}(u) \geq n \Leftrightarrow T_{n} \geq u \]
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+$T_{n}$ ist, wie "ublich, die Ankunftszeit des $n$-ten Kunden.
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+
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+Aus dem Gesetz der gro"sen Zahlen folgt:
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+\[ T_{n} \approx n\E(t) ~.\]
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+Das impliziert
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+\[N_{a}(u) \approx \lambda u ~. \]
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+Der zentrale Grenzwertsatz gibt uns
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+\[\PP(T_{n} \leq n\E(t)+z\sqrt{n{\bf Var}(t)}) = \Phi (z) ~. \]
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+Daraus ergibt sich f"ur gro"ses n
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+\begin{eqnarray*}
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+& &\PP(N_{a}\geq\lambda u + y\sqrt{u}) = \\
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+& & ~ ~=\PP(T_{\lambda u + y\sqrt{u}} \leq u) = \\
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+& & ~ ~=\PP(T_{\lambda u + y\sqrt{u}} \leq \E(t)(\lambda u + y\sqrt{u}) - y\E(t)\sqrt{u} ) = \\
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+& & ~ ~=\PP(T_{\lambda u + y\sqrt{u}} \leq \E(t)(\lambda u + y\sqrt{u}) - \\
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+& & ~ ~ ~ ~ ~- y\sqrt{(\E(t))^{3}(\lambda u + y\sqrt{u})})=\\
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+& &~ ~=\PP(T_{\lambda u + y\sqrt{u}} \leq \E(t)(\lambda u + y\sqrt{u}) - \\
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+& & ~ ~ ~ ~ ~-\frac{y}{\sqrt{\lambda ^{3}{\bf Var}(t)}}\sqrt{{\bf Var}(t)(\lambda u + y\sqrt{u})}) \\
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+& &~ ~=1 - \Phi(\frac{y}{\sqrt{\lambda ^{3}{\bf Var}(t)}}) ~.
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+\end{eqnarray*}
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+$N_{a}(u)$ ist also n"aherungsweise normalverteilt mit Mittel $u\lambda$ und Varianz $u\lambda^{3}{\bf Var}(t)$. Genauso erh"alt man f"ur die Anzahl $N_{b}(u)$
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+der
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+Kunden, die w"ahrend der Zeit $u$ bedient werden (wenn die Schlange nicht leer ist) eine n"aherungsweise Normalverteilung mit Mittel $\mu u$ und Varianz
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+$\mu^{3}u{\bf Var}(x)$. Wir nehmen jetzt an, da"s diese Werte durch kontinuierliche Beitr"age zustande kommen, d.h. die 'Anzahl' der Ank"unfte (bzw.
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+Bedienvorg"ange)
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+in der kurzen Zeit $\Delta u$ soll normalverteilt mit Mittel $\lambda\Delta u$ (bzw. $\mu\Delta u$) und Varianz $\lambda^{3}\Delta u{\bf Var}(t)$ (bzw.
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+$\mu^{3}\Delta
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+u{\bf Var}(x)$) sein. Die Anzahl der Ank"unfte bzw. Bedienvorg"ange "uber disjunkten Intervallen sollen nat"urlich unabh"angig sein. Die "Anderung der Anzahl der
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+Kunden
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+im System w"ahrend der Zeit $\Delta u$ ist dann normalverteilt mit Mittel $\Delta u(\lambda - \mu)$ und Varianz $\Delta u\sigma^{2}$ mit $\sigma^{2} =
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+\lambda^{3}{\bf Var}(t) + \mu^{3}{\bf Var}(x)$.\\
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+(Die letzte Beziehung gilt nat"urlich nur, wenn die Anzahl der Kunden im System $> 0$ ist).
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+
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+Es sei nun
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+\[F(x,u) = \PP(N(u) \leq x) ~.\]
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+Wir stellen eine Gleichung f"ur $F(x,u+\Delta u)$ auf, dabei sei $X(\Delta u)$ die "Anderung der Kunden w"ahrend $\Delta u$:
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+\begin{eqnarray*}
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+F(x,u+\Delta u)&=&\PP(N(u+\Delta u) \leq x) = \\
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+ &=&\PP(N(u)+X(\Delta u) \leq x) = \\
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+ &=&\PP(N(u) \leq x - X(\Delta u)) = \\
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+ &=&\E(F(x-X(\Delta u),u)) = \\
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+ &=&\E(F(x,u)-F_{x}(x,u)X(\Delta u) + \\
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+ & &+ \frac{1}{2}F_{xx}(x,u)X(\Delta u)^{2} + o(\Delta u)) = \\
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+ &=&F(x,u)-F_{x}(x,u)\E(X(\Delta u)) + \\
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+ & &+\frac{1}{2}F_{xx}(x,u)(\E(X(\Delta u)^{2})) + o(\Delta u) = \\
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+ &=&F(x,u)-F_{x}(x,u)\Delta u(\lambda-\mu) + \\
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+ & &+\frac{1}{2}F_{xx}(x,u)\sigma^{2}\Delta u + o(\Delta u) ~.
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+\end{eqnarray*}
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+Wenn man $F(x,u)$ nach links bringt, durch $\Delta u$ dividiert, und $\Delta u \rightarrow 0$ gehen l"a"st, ergibt sich
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+\begin{eqnarray*}
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+F_{u}(x,u)&=&(\mu - \lambda)F_{x}(x,u) + \frac{1}{2}\sigma^{2}F_{xx}(x,u) \qquad (x \geq 0) \\
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+ & & \\
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+F(x,0)&=&1 \qquad (x \geq 0) \\
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+F(x,0)&=&0 \qquad (x < 0) \\
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+F(0,u)&=&0 \qquad (u > 0) ~.
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+\end{eqnarray*}
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+Die Anfangsbedingung ergibt sich aus der Forderung, da"s das System zur Zeit $0$ leer sein soll, und die Randbedingung daraus, da"s die Anzahl der Kunden nicht
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+negativ sein darf.
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+
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+Man kann sehr leicht die L"osung der Gleichung ohne Randbedingung finden, indem man die Laplace-Transformation anwendet:
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+\[G(z,u)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-xz}F(x,u)dx ~.\]
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+Wir erhalten nach einigen partiellen Integrationen:
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+\[G_{u}(z,u) = (\mu-\lambda)zG(z,u)+\frac{1}{2}\lambda^{2}z^{2}G(z,u) ~, \]
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+also
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+\[ G(z,u) = G(z,0)e^{\frac{1}{2}\sigma^{2}z^{2}+(\mu - \lambda)z} \]
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+und, da $G(z,0)=\frac{1}{z}$
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+\[G(z,u) = \frac{1}{z}e^{\frac{1}{2}\sigma^{2}uz^{2}+(\mu - \lambda)zu} ~.\]
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+Die Inversion der Laplace-Transformation liefert
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+\[F(x,u)=\Phi\left(\frac{x+(\mu - \lambda)u}{\sqrt{\sigma^{2}u}}\right) ~. \]
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+Um die Gleichung mit der Randbedingung zu l"osen, suchen wir zuerst die station"are Verteilung. Diese ergibt sich aus der obigen Gleichung, wenn $F(x,u)$ nicht
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+von $u$ abh"angt. Dann ist nat"urlich die Ableitung nach $u = 0$, und wir erhalten:
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+\[ F'_{0}(x)(\mu - \lambda)+\frac{1}{2}\sigma^{2}F''(x)=0 ~. \]
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+Diese Gleichung hat die allgemeine L"osung
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+\[F(x) = C_{1}+C_{2}e^{\frac{2(\lambda - \mu)}{\sigma^{2}}x} ~. \]
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+Da $F(0) = 0$ und $F(\infty) = 1$ sein soll, erhalten wir
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+\[F(x) = 1-e^{\frac{2(\lambda - \mu)}{\sigma^{2}}x} ~. \]
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+Es ergibt sich also wieder eine Exponentialverteilung f"ur die Wartezeit. F"ur $\rho \rightarrow 1$ stimmt diese Verteilung in erster N"aherung mit der aus
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+Abschnitt $3.$ "uberein. Mit etwas mehr Arbeit kann man die folgende L"osung der partiellen Differentialgleichung erhalten:
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+\[F(x,u)=\Phi\left(\frac{x+u(\mu - \lambda)}{\sqrt{\sigma^{2}u}}\right)-e^{\frac{2(\mu - \lambda)}{\sigma^{2}}x}\Phi\left(\frac{-x+u(\mu -
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+\lambda)}{\sigma^{2}}\right) ~.\]
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+\end {enumerate}
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+\chapter{Time-Sharing}
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+Wir wollen jetzt unsere Kenntnisse auf eine Analyse von Fragen anwenden, die bei Time-sharing Anwendungen auftreten. \\
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+Wir betrachten den einfachsten Fall, da"s nur eine CPU vorhanden ist, die 'gleichzeitig' mehrere Programme bearbeiten mu"s.
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+Dazu wird jeweils eines der wartenden Programme ausgew"ahlt, in den Hauptspeicher geladen, eine kurze Zeit (die sog. \index{Zeitscheibe}'Zeitscheibe') gerechnet,
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+aus dem
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+Hauptspeicher entfernt, und das Spiel mit dem n"achsten Programm fortgesetzt. Jedes Programm braucht eine bestimmte \index{Rechenzeit}Rechenzeit $x$, und sobald
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+diese Zeit (in
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+Form von einzelnen Zeitscheiben) abgearbeitet ist, verl"a"st das Programm das System. Da wir keine a-priori Information "uber die Rechenzeit eines Programmes
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+voraussetzen, k"onnen wir die Jobs nur aufgrund der schon verbrauchten Rechenzeit klassifizieren, und die Auswahl des n"achsten Programms nach dieser verbrauchten
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+Rechenzeit treffen. Dabei k"onnen wir verschiedene Ziele verfolgen:
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+\begin{enumerate}
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+\begin{enumerate}
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+\item kurze Programme sollen m"oglichst schnell erledigt werden. Dadurch wird die Anzahl der Programme im System klein gehalten, was den Verwaltungsaufwand
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+reduziert; au"serdem ist es psychologisch ung"unstig, wenn ein Kunde auf ein 2-Sekunden-Programm eine Stunde warten mu"s.
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+\item eine m"oglichst 'gerechte' Verteilung w"are eine, bei der die Zeit, die ein Job im System verbringt, proportional zur Rechenzeit ist; nur dann ist es nicht
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+m"oglich, durch Aufteilen eines langen Programmes in mehrere k"urzere bzw. durch Zusammenfassen mehrere k"urzere Programme einen Zeitgewinn zu erzielen.
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+\end{enumerate}
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+\end{enumerate}
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+
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+Wir machen folgende Annahmen:
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+\begin{enumerate}
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+\item Die Ank"unfte erfolgen nach einem Poissonproze"s mit Rate $\lambda$, die Rechenzeiten sind unabh"angig mit Verteilungsfunktion $B$ (wir haben also eine
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+$M/G/1$-Situation) mit Dichte $b$.
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+\item Die Zeitscheibe nehmen wir als infinitesimal an; weiters nehmen wir an, da"s wir die Zeit zum Austauschen vernachl"assigen k"onnen.
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+\item Wir betrachten nur die station"aren Verteilungen.
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+\end{enumerate}
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+$N(u)$ sei die mittlere Anzahl von Jobs, deren verbrauchte Rechenzeit $\leq u$ ist. Dazu m"oge eine Dichte $n(u)$ existieren, soda"s
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+\[N(u)=\int_{0}^{u}n(s)ds \]
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+ist.
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+
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+$T(u)$ sei die Zeit, die im Durchschnitt vergeht, bis ein Job $u$ Sekunden Rechenzeit bekommt. \\
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+$W(u)$ sei die Wartezeit eines Jobs mit $u$ Sekunden Rechenzeit, also
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+\[W(u) = T(u) - u ~. \]
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+Wir betrachten die Jobs, die schon zwischen $u$ und $u+\Delta u$ Sekunden gerechnet haben, als eine eigene Warteschlange. Hier kommen alle Jobs durch, deren
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+Rechenzeit $\geq u$ ist. Die Ankunftsrate in dieser Schlange ist also $\lambda(1-B(u))$.\\
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+Die mittlere Aufenthaltsdauer ist $T(u+\Delta u) - T(u)$, und die mittlere Anzahl von Jobs in dieser Schlange ist $\approx n(u)\Delta u$. \\
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+Mithilfe des Satzes von Little ergibt sich die Beziehung
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+\[n(u)=\lambda (1-B(u))\frac{dT(u)}{du} ~. \]
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+Wir betrachten die folgende Strategien:
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+\begin{enumerate}
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+\item {\bf FCFS} ('Batch')
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+\item {\bf LCFS} (pr"a-emptiv): ein Job, der das System betritt, wird sofort bearbeitet (ein eventuell laufender Job wird dazu unterbrochen); wenn ein Job fertig
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+ist, wird der zuletzt unterbrochene weiterbearbeitet.
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+\item {\bf \index{Round Robin}Round Robin (RR)}: alle Jobs, die im System sind, werden der Reihe nach bearbeitet (abwechselnd).
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+\item Es wird jeweils der Job bearbeitet, der am wenigsten Rechenzeit verbraucht hat.
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+\end{enumerate}
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+Es sollte Strategie 4 kurze Jobs am meisten bevorzugen, 1 am wenigsten, 2 und 3 sollten dazwischen liegen.
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+
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+\begin{enumerate}
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+\item Kennen wir von fr"uher; hier ist die Wartezeit $W(u)$ konstant, und zwar ist
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+\[W(u) = \frac{\lambda \E(x^{2})}{2(1-\rho)} \]
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+und
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+\[T(u) = u + \frac{\lambda \E(x^{2})}{2(1-\rho)} ~. \]
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+\item Hier ist $T(u)$ leicht zu bestimmen. Denn $T(u)$ ist gleich der Rechenzeit $u$ plus der Summe der Rechenzeiten aller Programme, die w"ahrend $T(u)$
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+ankommen.
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+W"ahrend $T(u)$ kommen $\lambda T(u)$ Programme an, jedes bringt im Schnitt $\E(x)$ Sekunden Rechenzeit mit, also gilt
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+\[T(u) = u + \lambda T(u)\E(x)=u + \rho T(u) ~,\]
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+also
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+\[T(u)=\frac{u}{1-\rho} ~. \]
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+Wir haben also ein 'gerechtes' Verfahren gefunden.
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+\item Wenn sich $N$ Programme im System befinden, bekommt ein bestimmtes Programm $\frac{1}{N}$ der gesamten Rechenzeit. \\
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+Daher ist $dT(u) = Ndu$. Da nur gerechnet wird, wenn das System nicht leer ist, ergibt sich:
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+\[ T(u)=u\E(N \mid N \not= 0)=Cu, \]
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+also wieder ein 'gerechtes' System. Um $C$ zu bestimmen, betrachten wir den Fall $u \rightarrow \infty$. Wenn $u$ gro"s ist, werden die meisten Jobs, die w"ahrend
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+$T(u)$ ankommen, auch noch w"ahrend $T(u)$ das System verlassen. F"ur gro"ses $u$ ist also das Verhalten "ahnlich wie im vorigen Fall, und wir erhalten wieder
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+\[T(u)=\frac{u}{1-\rho} ~. \]
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+\item Wenn wir ein Programm betrachten, das genau $u$ Sekunden Rechenzeit ben"otigt, dann sehen wir, da"s f"ur $T(u)$ von der Rechenzeit aller anderen Programme
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+nur der Teil von Bedeutung ist, der kleiner als $u$ ist. Aus der Sicht dieses Programmes k"onnen wir also $x$ durch $(x \land u)$ ersetzen, und die
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+Verteilungsfunktion $B$ durch:
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+\[
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+B_{u}(y) = \left\{
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+\begin{array}{lc}
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+B(y) & y<u \\
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+1 & y \geq u
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+\end{array} \right. ~.
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+\]
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+$W(u)$ setzt sich jetzt zusammen aus der restlichen Rechenzeit aller Programme, die vor unserem Programm angekommen sind, plus der Summe der Rechenzeiten von
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+allen Programmen, die w"ahrend $T(u)$ ankommen. Der erste Teil ist im Mittel gleich der Wartezeit in $M_{\lambda}/B_{u}/1$, also gleich
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+\[W_{u}=\frac{\lambda \E((x \land u)^{2})}{2(1-\rho _{u})} \]
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+mit
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+\[\rho _{u}=\lambda \E(x \wedge u) ~.\]
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+F"ur den zweiten Teil ergibt sich
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+\[\lambda T(u)\E(x \wedge u) = T(u)\rho _{u} ~.\]
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+Wir bekommen die Gleichung
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+\[T(u)=u+W_{u}+\rho _{u}T(u) ~, \]
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+also
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+\[T(u)=\frac{u+W_{u}}{1-\rho_{u}} ~. \]
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+F"ur $u \rightarrow 0$ ergibt sich
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+\[T(u) \approx u ~, \]
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+f"ur $u \rightarrow \infty$
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+\[T(u) \approx \frac{u}{1-\rho} ~. \]
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+\end{enumerate}
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+
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+%-------------------------------------------------------------------------------------------
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+\chapter{Priorit"aten}
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+Wir betrachten den Fall, da"s es mehrere \index{Klassen}Klassen von Kunden gibt, die von unserem System unterschiedlich behandelt werden. Genauer gesagt soll es
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+$p > 0$ Klassen
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+von Kunden geben. Die Kunden aus Klasse $i$ kommen nach einem Poissonproze"s mit Rate $\lambda_{i}$ an und ben"otigen eine Bedienzeit mit Verteilungsfunktion
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+$B_{i}$ (wir betrachten also wieder eine $M/G/1$-Situation). Weiters sei
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+\begin{eqnarray*}
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+\lambda &=& \sum_{i=1}^{p}\lambda _{i} \\
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+B(y) &=& \frac{1}{\lambda}\sum_{i=1}^{p}\lambda _{i}B_{i}(y) \\
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+\rho _{i} &=& \lambda _{i}\int ydB_{i}(y) \\
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+\rho &=& \lambda \int ydB(y) ~.
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|
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+\end{eqnarray*}
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+Es gibt jetzt eine ganze Reihe von M"oglichkeiten, Disziplinen zu definieren, die eine Klasse gegeb"uber anderen bevorzugen. Wir sprechen von unterschiedlichen
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+{\bf \index{Priorit\"{a}ten}Priorit"aten}.
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+
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+Die Disziplinen, die wir untersuchen, sollen folgende Eigenschaften haben:
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+\begin{enumerate}
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+\item {\bf Nicht-pr"a-emptiv}: Ein einmal begonnener Bedienvorgang wird ohne Unterbrechung zu Ende gef"uhrt.
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+\item {\bf Arbeitserhaltend}: Niemand, der wartet, wird weggeschickt, ohne bedient zu worden zu sein.
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|
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+\end{enumerate}
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+Weiters soll immer, wenn das System nicht leer ist, bedient werden.
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+
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+%-------------------------------
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+\section{Ein Erhaltungssatz}
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+%------------------------------
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+
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+$U_{t}$ sei die unverrichtete Zeit im System, d.h. die Zeit, die ben"otigt wird, um alle anwesenden Kunden fertig zu bedienen. Offensichtlich ist die Verteilung
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+von $U_{t}$ unabh"angig von der Disziplin: \\
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+$U_{t}$ w"achst mit jeder Ankunft eines Kunden um seine Bedienzeit an, und f"allt pro Sekunde um $1$ Sekunde, solange $U_{t}>0$ ist. Die station"are Verteilung
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+von $U_{t}$ entspricht der Verteilung der Wartezeit eines zuf"allig ankommenden Kunden bei der FCFS-Disziplin. \\
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+Insbesondere ist
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+\[\E(U) = \frac{\lambda \E(x^{2})}{2(1-\rho)} ~ \]
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+wobei $x$ nach der Funktion $B$ verteilt ist.
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+
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+Wir berechnen jetzt $\E(U)$ auf eine andere Art. Dazu bezeichnen wir mit $W_{i}$, $i=1, \dots , p$, die mittlere Wartezeit eines Kunden mit Priorit"at $i$, und
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+mit
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+$N_{i}$ die Anzahl der Kunden aus der $i$-ten Priorit"atsgruppe in der Warteschlange.
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+
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+$\E(U)$ setzt sich jetzt aus folgenden Beitr"agen zusammen:
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+\begin{enumerate}
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+\item $W_{0}$: die mittlere restliche Bedienzeit f"ur den Kunden, der gerade bedient wird.
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+\item Die Summe der mittleren Bedienzeiten f"ur alle Kunden, die sich in der Warteschlange befinden.
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+\end{enumerate}
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+Um $W_{0}$ zu bestimmen, stellen wir fest, da"s $W_{0}$ gleich der Zeit ist, die ein zuf"allig ankommender Kunde warten mu"s, bis der Kunde fertig ist, der gerade
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+bedient wird. Mit Wahrscheinlichkeit $(1-\rho)$ findet der ankommende Kunde das System leer vor. Falls der Server besetzt ist, kann man die Verteilung der
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+restlichen Bedienzeit folgenderma"sen bestimmen: \\
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+Wir betrachten eine gro"se Anzahl $n$ von unabh"angigen Variablen mit Verteilung $B$. Ihre Summe ist nach dem Gesetz der gro"sen Zahlen $\approx n\E(x)$. Wenn wir
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+in dem Intervall der L"ange $n\E(x)$ einen Punkt zuf"allig w"ahlen, ist die Chance, da"s wir bis zum Ende des Teilintervalls, in das der zuf"allig gew"ahlte Punkt
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+f"allt, einen Abstand zwischen $u$ und $u+\Delta u$ haben, gleich $\frac{\Delta u}{n\E(x)}$ mal der Anzahl der Intervalle mit L"ange $> u$, also
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+\[ \approx \frac{\Delta u}{n\E(x)}n(1-B(u)) ~. \]
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+ F"ur $n \rightarrow \infty$ ergibt sich f"ur die Verteilung der restlichen Wartezeit die Dichte
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+\[f(u)=\frac{1-B(u)}{\E(x)} ~. \]
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+Schlie"slich ist
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+\[W_{0}=\rho \int_{0}^{\infty}uf(u)du = \frac{\rho \E(x^{2})}{2\E(x)}=\frac{\lambda \E(x^{2})}{2} ~. \]
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|
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+Die Summe der Bedienzeiten der Kunden in der Warteschlange ergibt sich nat"urlich aus der Summe der gesamten Bedienzeiten der Kunden in den einzelnen Gruppen.
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+Es sind im Schnitt $N_{i}$ Kunden aus der $i$-ten Gruppe anwesend. F"ur jeden wird im Schnitt eine Bedienzeit $\E(x_{i})$ ($x_{i}$ soll eine $ZV$ mit Verteilung
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+$B_{i}$ sein) ben"otigt. \\
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+Damit gilt
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+\[\E(U)=W_{0}+\sum_{i=1}^{p}\E(x_{i})N_{i}=\frac{W_{0}}{1-\rho} ~. \]
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|
+Nach Little gilt $N_{i}=\lambda_{i}W_{i}$, also schlie"slich
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+\[ \sum_{i=1}^{p}\rho_{i}W_{i}=\frac{\rho W_{0}}{1-\rho}=\frac{\lambda \rho \E(x^{2})}{2(1-\rho)} ~.\]
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|
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+Dieses Ergebnis zeigt, da"s wir eine Gruppe nur bevorzugen k"onnen, indem eine andere Gruppe gr"o"sere Wartezeiten in Kauf nehmen mu"s.
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+
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+%----------------------------------------------------
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+\section{Eine Methode zur Bestimmung der Wartezeit}
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+%----------------------------------------------------
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+
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+Wir betrachten einen Kunden aus der Gruppe $i$, der das System betritt: \\
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+$N_{ij} \dots$ mittlere Anzahl der Kunden aus Gruppe $j$, die unser Kunde im System antrifft, und die vor ihm bedient werden (ausgenommen der Kunde, der eventuell
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+gerade bedient werden, wenn unser Kunde ankommt). \\
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+$M_{ij} \dots$ mittlere Anzahl der Kunden aus Gruppe $j$, die w"ahrend der Wartezeit unseres Kunden ankommen und vor ihm bedient werden. \\
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|
+Damit gilt
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+\[W_{i}=W_{0}+\sum_{j=1}^{p}(N_{ij}+M_{ij})\E(x_{j}) ~. \]
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+Wir verwenden diesen Zugang f"ur die einfachste Disziplin: \\
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+Jeder Kunde aus Gruppe $i$ wird vor allen Kunden aus Gruppe $i-1$ bedient, und innerhalb einer Gruppe wird nach $FCFS$ gearbeitet. \\
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+Dann ist
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+\begin{eqnarray*}
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+N_{ij}&=&0 \qquad j<i \\
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+M_{ij}&=&0 \qquad j \leq i ~.
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+\end{eqnarray*}
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+F"ur $j \geq i$ ist
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+\[N_{ij}=N_{j}=\lambda _{j}W_{j} ~. \]
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+F"ur $j>i$ ist $M_{ij}$ die Anzahl der Kunden aus Gruppe $j$, die im Mittel w"ahrend $W_{i} = \lambda _{j}W_{i}$ ankommen.
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|
|
+
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+Wir erhalten
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+\begin{eqnarray*}
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+W_{i}&=&W_{0}+\sum_{j=i}^{p}\rho _{j}W_{j}+\sum_{j=i+1}^{p}\rho_{j}W_{i} = \\
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|
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+&=&W_{0} + W_{i}\sum_{j=i}^{p}\rho_{j} + \sum_{j=i+1}^{p}\rho_{j}W_{j}
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|
|
+\end{eqnarray*}
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|
+oder
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+\[W_{i}(1-\sum_{j=i}^{p}\rho_{j})=W_{0}+\sum_{j=i+1}^{p}\rho_{j}W_{j} ~. \]
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+Wir schreiben
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+\[\sigma_{j} = \sum_{j=i}^{p}\rho_{j} \]
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|
|
+und erhalten
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+\[W_{i-1}(1-\sigma_{i-1})=W_{i}(1-\sigma_{i})+\rho_{i}W_{i}=W_{i}(1-\sigma_{i+1}) ~, \]
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|
|
+und schlie"slich
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+\[W_{i}=\frac{W_{0}}{(1-\sigma_{i})(1-\sigma_{i+1})} ~. \]
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|
|
+
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+%----------------------------------------------------------------------------
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+\begin{appendix}
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+\chapter{Transformationen}
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+%----------------------------------------------------------------------------
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+F"ur unsere Untersuchungen ben"otigen wir die folgenden Transformationen:
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+\begin{enumerate}
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+\item Die erzeugende Funktion oder \index{erzeugende Funktion}$z$ - Transformierte: Falls $p_{n}$, $n
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+\geq 0$ eine diskrete Verteilung ist, nennen wir
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+\begin{displaymath}
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+P^{*}(z) = \sum_{}^{} p_{n} z^{n}
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|
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+\end{displaymath}
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|
+die erzeugende Funktion von $(p_{n})$. Falls $X$ die Verteilung $(p_{n})$
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|
+hat, so gilt
|
|
|
+\begin{displaymath}
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|
|
+P^{*}(z) = \E (z^{X}) ~.
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|
|
+\end{displaymath}
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|
|
+$P^{*}(z)$ existiert jedenfalls f"ur $|z|<1$. Bekanntlich kann man aus
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|
+$P^{*}$ eindeutig $(p_{n})$ bestimmen:
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|
|
+\begin{displaymath}
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|
+p_{n} = \frac{1}{n!} P^{*^{n}} (0) ~.
|
|
|
+\end{displaymath}
|
|
|
+\item Die Laplace - Transformierte: Falls $f(x)$, $x \geq 0$ eine
|
|
|
+Dichtefunktion ist, d.h.
|
|
|
+\begin{displaymath}
|
|
|
+f \geq 0 \qquad \mbox{und} \qquad \int_{0}^{\infty} f(x)dx = 1 ~,
|
|
|
+\end{displaymath}
|
|
|
+hei\3t
|
|
|
+\begin{displaymath}
|
|
|
+\hat F(t) = \int_{0}^{\infty} e^{-xt} f(x)dx
|
|
|
+\end{displaymath}
|
|
|
+die \index{Laplace - Transformierte}Laplace - Transformierte von $f$. Dieses Integral ist f"ur $t \geq 0$
|
|
|
+endlich, und es gibt auch hier eine eindeutige Beziehung zwischen $\hat F$
|
|
|
+und $f$. Falls $X$ mit der Dichte $f$ verteilt ist, ist
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|
|
+\begin{displaymath}
|
|
|
+\hat F(t) = \E (e^{-Xt}) ~.
|
|
|
+\end{displaymath}
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|
|
+Diese Beziehung kann man auch verwenden, um die Laplace - Transformierte
|
|
|
+f"ur nicht stetige Verteilungen zu definieren.
|
|
|
+\end{enumerate}
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|
|
+Es bestehen folgende Eigenschaften der Transformationen:
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|
+\begin{enumerate}
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|
+\item $P^{*}(z)$ ist regul"ar f"ur $|z| \leq 1$.
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|
+\item $ \hat F(z)$ ist regul"ar f"ur $ \Re (z) \geq 0$. Falls $X$ eine
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|
+Verteilung $(p_{n})$ hat, ist
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|
|
+\begin{displaymath}
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+\E(X) = (P^{*})^{'}(1) ~.
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|
|
+\end{displaymath}
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|
|
+Falls $X$ Dichte $f$ hat, ist
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|
|
+\begin{displaymath}
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+\E(X) = -\hat F^{'}(0) ~.
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|
|
+\end{displaymath}
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|
|
+\item Falls $X$, $T$ unabh"angig sind, ist die Transformierte der Summe
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|
+das Produkt der Transformierten.
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|
|
+\item Weiters sei $N_{t}$ ein \index{Poissonproze\3}Poissonproze\3 (d.h. eine Folge von
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+Ereignissen, wobei die Zeit zwischen zwei Ereignissen nach $M_{\lambda}$
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+verteilt ist. $N_{t}$ ist die Anzahl dieser Ereignisse im Intervall
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+$[0,t])$. F"ur eine zuf"allige Zeit $T$ wollen wir die Anzahl $N_{T}$ von
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+Ereignissen in $[0,T]$ bestimmen. Falls $T=t$ ist, ist diese Anzahl
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+Poisson - verteilt mit Parameter $\lambda t$:
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+\begin{displaymath}
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+\PP (N_{T} = n | T = t) = \frac{(\lambda t)^{n}}{n!} e^{- \lambda t} ~,
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|
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+\end{displaymath}
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|
+also ist
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+\begin{displaymath}
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+\PP (N_{T} = n) = \E \left[ \frac{( \lambda
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+T)^n}{n!} e^{- \lambda T} \right] ~.
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|
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+\end{displaymath}
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+Die erzeugende Funktion ist
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+\begin{eqnarray*}
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+\hat \PP(z) &=& \sum_{}^{} \PP(N_{T} = n) z^{n} = \\
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+&=& \E \left[ \sum_{}^{} e^{-\lambda T} \frac{(\lambda z T)^{n}}{n!}
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+\right] = \\
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+&=& \E (e^{- \lambda (1-z)T}) = \\
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+&=& \tilde F (\lambda(1-z)) ~,
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|
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+\end{eqnarray*}
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+falls $T$ mit Dichte $f$ verteilt ist.
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+\end{enumerate}
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+%------------------------------------------------------------------------------
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|
|
+\end{appendix}
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Martin Thoma