documents/Warteschlangen: real umlauts, to make the PDF searchable

documents/Warteschlangen/README.md

@@ -0,0 +1,3 @@
+Das hier angebotene Skript wurde von Karl Grill erstellt.
+Das original ist [hier](http://www.ci.tuwien.ac.at/~grill/) zu finden. Die hier
+angebotene Version wurde (in Kleinigkeiten) von Martin Thoma überarbeitet.

documents/Warteschlangen/klaus.tex

@@ -1,26 +1,26 @@
 
 %-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-\chapter{Absch"atzungen und N"aherungen}
+\chapter{Abschätzungen und Näherungen}
 %-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-\section{Absch"atzungen}
+\section{Abschätzungen}
 %------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-Die Ergebnisse des vorigen Abschnittes sind deswegen etwas unbefriedigend, weil die angestrebte Zerlegung nur in 
-Spezialf"allen m"oglich ist. Im allgemeinen Fall m"ussen wir uns darauf beschr"anken, Absch"atzungen und
-n"aherungsweise L"osungen zu finden.
+Die Ergebnisse des vorigen Abschnittes sind deswegen etwas unbefriedigend, weil die angestrebte Zerlegung nur in
+Spezialfällen möglich ist. Im allgemeinen Fall müssen wir uns darauf beschränken, Abschätzungen und
+näherungsweise Lösungen zu finden.
 
 Wir gehen wieder von unserer Rekursionsgleichung aus:
 \[w_{n+1} = (w_{n}+u_{n})_{+} \]
-Wir f"uhren eine neue Zufallsvariable $y_{n}$ ein, die den entsprechenden Negativteil darstellt:
+Wir führen eine neue Zufallsvariable $y_{n}$ ein, die den entsprechenden Negativteil darstellt:
 \[y_{n} = (w_{n}+u_{n})_{-}  ~ ~ ~ ~ ~ ((x)_{-} := (-x)_{+}) ~. \]
 Damit erhalten wir
 \[ w_{n+1}-y_{n} = w_{n}+u_{n} ~.\]
-Das gibt f"ur die Erwartungswerte:
+Das gibt für die Erwartungswerte:
 \[\E(w_{n+1})-\E(y_{n}) = \E(w_{n})+\E(u_{n}) ~.\]
-F"ur $n$ $\rightarrow$ $\infty$ ergibt sich
+Für $n$ $\rightarrow$ $\infty$ ergibt sich
 \[-\E(y) = \E(u) = \E(x) - \E(t) \qquad \mbox{oder} \qquad \E(y) = \E(t) - \E(x) ~.\]
-Leider haben wir keine Beziehung f"ur die Wartezeit (Anmerkung: in den letzten Gleichungen steht nur eine Beziehung f"ur die Verteilungen).
+Leider haben wir keine Beziehung für die Wartezeit (Anmerkung: in den letzten Gleichungen steht nur eine Beziehung für die Verteilungen).
 
-Als n"achstes quadrieren wir die Ausgangsgleichung
+Als nächstes quadrieren wir die Ausgangsgleichung
 \[ w_{n+1}^{2}+y_{n}^{2}-2w_{n+1}y_{n}=w_{n}^{2}+2w_{n}u_{n}+u_{n}^{2} ~.\]
 Wegen \( (x)_{+}(x)_{-} = 0 \)  ist \( w_{n+1}y_{n} = 0 ~,\) also
 \[w_{n+1}^2 + y_{n}^2 = w_{n}^2+2w_{n}u_{n}+u_{n}^2 ~.\]
@@ -29,104 +29,104 @@ Wenn wir wieder die Erwartungswerte berchnen und \(n \rightarrow \infty \) gehen
 \E(w^{2})+\E(y^{2})&=&\E(w^{2})+2\E(wu)+\E(u^{2}) = \\
                    &=&\E(w^{2})+2\E(w)\E(u)+\E(u^{2}) \\
 \end{eqnarray*}
-($w_{n}$ und $u_{n}$ sind ja unabh"angig).
+($w_{n}$ und $u_{n}$ sind ja unabhängig).
 
-Schlie"slich haben wir
+Schließlich haben wir
 \[\E(w) = \frac{\E(u^{2})-\E(y^{2})}{-2\E(u)} \qquad [\E(u) \mbox{ ist ja negativ}] ~.\]
-Wir erhalten eine obere Absch"atzung, wenn wir $\E(y^{2})$ nach unten absch"atzen. Dazu verhilft uns die Ungleichung
+Wir erhalten eine obere Abschätzung, wenn wir $\E(y^{2})$ nach unten abschätzen. Dazu verhilft uns die Ungleichung
 \[\E(y^{2}) \geq (\E(y))^{2} = (\E(u))^{2} \qquad  \mbox{also }\]
 \[\E(w^{2}) \leq \frac{{\bf Var}(u)}{-2\E(u)} = \frac{{\bf Var}(x)+{\bf Var}(t)}{-2\E(u)} ~.\]
-F"ur eine obere Absch"atzung f"ur $\E(y^{2})$ beachten wir, da"s
+Für eine obere Abschätzung für $\E(y^{2})$ beachten wir, daß
 \[y=(w+u)_{-} \leq (u)_{-} \quad \mbox{da} \quad w \geq 0 ~.\]
 Wegen$ \quad u^{2} = ((u)_{+}-(u)_{-})^{2} = ((u)_{+})^{2}+((u)_{-})^{2} \quad $erhalten wir
 \[\E(w) \geq \frac{(\E((u)_{+}))^{2}}{-2\E(u)} ~.\]
-Ein weiterer Weg, eine untere Absch"atzung zu finden ist folgender:
-\[\E(w_{n+1}) = \E(w_{n}+u_{n})_{+} = \E[\E((w_{n}+u_{n})_{+}\vert w_{n})] ~.\] 
-Wenn wir f"ur die Verteilungsfunktion von $u_{n}$
+Ein weiterer Weg, eine untere Abschätzung zu finden ist folgender:
+\[\E(w_{n+1}) = \E(w_{n}+u_{n})_{+} = \E[\E((w_{n}+u_{n})_{+}\vert w_{n})] ~.\]
+Wenn wir für die Verteilungsfunktion von $u_{n}$
 \[C(y)=\PP(u_{n} \leq y)    \]
 setzen, erhalten wir
 \[\E((w_{n}+u_{n})_{+} \vert w_{n} = y) = \int_{-y}^{\infty}(u+z)dC(z) = \int_{-y}^{\infty}(1-C(z))dz =: g(y) ~.\]
 Also
 \[\E(w_{n+1}) = \E(g(w_{n}))\]
-$g$ ist konvex ($g'$ ist monoton), also k"onnen wir die JENSEN'sche Ungleichung anwenden:
+$g$ ist konvex ($g'$ ist monoton), also können wir die JENSEN'sche Ungleichung anwenden:
 \[\E(g(w_{n})) \geq g(\E(w_{n}))~.\]
-F"ur $n \rightarrow \infty$ ergibt sich
+Für $n \rightarrow \infty$ ergibt sich
 \[\E(w) \geq g(\E(w)) ~.\]
-Wir betrachten die Gleichung 
+Wir betrachten die Gleichung
 \[g(y) = y ~.\]
 Die Funktion $y-g(y)$ hat die Ableitung $G(-y) \geq 0$, ist also monoton.\\
 Weiters ist $g(0) = \E((u_{n})_{+}) > 0 \mbox{ falls } W(u_{n} > 0) > 0$ ist (andernfalls ist $w = 0$).\\
-F"ur $n \rightarrow \infty$ ist $g(y) \rightarrow \E(u) < 0$, es gibt also eine eindeutig bestimmte L"osung $y_{0}$, f"ur die $g(y_{0}) = y_{o}$, und 
+Für $n \rightarrow \infty$ ist $g(y) \rightarrow \E(u) < 0$, es gibt also eine eindeutig bestimmte Lösung $y_{0}$, für die $g(y_{0}) = y_{o}$, und
 \[\E(w) \geq g(y_{o}) ~.\]
 
 %------------------------------------
-\section{N"aherungen}
+\section{Näherungen}
 %------------------------------------
 \bigskip
-"Ahnlich wie die Absch"atzungen des vorigen Kapitels sollen uns die N"aherungen dieses Abschnittes dazu dienen, ungef"ahre Aussagen "uber das qualitative
-Verhalten einer Warteschlange zu treffen. Eine M"oglichkeit besteht darin, die auftretenden Verteilungen durch solche zu ersetzen, f"ur die wir exakte Ergebnisse
-kennen. Dazu k"onnen wir etwa folgende Klassen von Verteilungen verwenden:
+Ähnlich wie die Abschätzungen des vorigen Kapitels sollen uns die Näherungen dieses Abschnittes dazu dienen, ungefähre Aussagen über das qualitative
+Verhalten einer Warteschlange zu treffen. Eine Möglichkeit besteht darin, die auftretenden Verteilungen durch solche zu ersetzen, für die wir exakte Ergebnisse
+kennen. Dazu können wir etwa folgende Klassen von Verteilungen verwenden:
 \begin{enumerate}
 
 \item {\bf Verteilungen mit rationaler Laplacetransformation}
 
-Man kann jede Verteilung durch Verteilungen mit rationalen Laplacetransformationen ann"ahern. F"ur diese Verteilungen kann \\
- man die Spektralzerlegung f"ur $G/G/1$ 'leicht' durchf"uhren: \\
-man findet die Nullstellen von Z"ahler und Nenner und ordnet sie, je nachdem in welcher Halbebene sie liegen, entweder
+Man kann jede Verteilung durch Verteilungen mit rationalen Laplacetransformationen annähern. Für diese Verteilungen kann \\
+ man die Spektralzerlegung für $G/G/1$ 'leicht' durchführen: \\
+man findet die Nullstellen von Zähler und Nenner und ordnet sie, je nachdem in welcher Halbebene sie liegen, entweder
 der Funktion $\Psi^{+}$ oder $\Psi^{-}$zu.
 
 \item {\bf Diskrete Verteilungen}
 
-"Ahnlich wie unter $1.$ kann man jede Verteilung durch eine diskrete Verteilung ann"ahern. Das folgende Beispiel zeigt, wie die diskreten Verteilungen behandelt
-werden k"onnen:\\
-Es sei 
+Ähnlich wie unter $1.$ kann man jede Verteilung durch eine diskrete Verteilung annähern. Das folgende Beispiel zeigt, wie die diskreten Verteilungen behandelt
+werden können:\\
+Es sei
 \begin{eqnarray*}
   \PP(t_{n}=1)=a, \quad \PP(t_{n}=2)=1-a \\
-  \PP(x_{n}=1)=b, \quad \PP(x_{n}=2)=1-b 
+  \PP(x_{n}=1)=b, \quad \PP(x_{n}=2)=1-b
 \end{eqnarray*}
 [$b>a$].
 
-F"ur $u_{n}=x_{n}-t_{n+1}$ ergibt sich:
+Für $u_{n}=x_{n}-t_{n+1}$ ergibt sich:
 \begin{eqnarray*}
    \PP(u_{n}=-1)&=&b(1-a) \\
    \PP(u_{n}=1)&=&a(1-b) \\
    \PP(u_{n}=0)&=&ab+(1-a)(1-b) ~.
 \end{eqnarray*}
-F"ur die station"are Verteilung der Wartezeit $w$ ergibt sich die Rekursion
+Für die stationäre Verteilung der Wartezeit $w$ ergibt sich die Rekursion
 \begin{eqnarray*}
   p_{k}&=&a(1-b)p_{k-1}+(ab+(1-a)(1-b))p_{k}+b(1-a)p_{k+1} \\
-  p_{0}&=&(a(1-b)+ab-(1-a)(1-b))p_{0}+b(1-a)p_{1} ~. 
-\end{eqnarray*} 
+  p_{0}&=&(a(1-b)+ab-(1-a)(1-b))p_{0}+b(1-a)p_{1} ~.
+\end{eqnarray*}
 Wir erhalten
 \begin{eqnarray*}
   p_{k}&=&p_{0}\left( \frac{a(1-b)}{b(1-a)}\right)^{k} \\
   p_{0}&=&1-\frac{a(1-b)}{b(1-a)}=\frac{b-a}{b(1-a)} ~.\\
 \end{eqnarray*}
-Falls wir mehr als zwei m"ogliche Werte f"ur $x$ bzw. $t$ haben, m"ussen wir eine Rekursion h"oherer Ordnung l"osen; dazu sind bekanntlich die Nullstellen des
-charakteristischen Polynoms zu bestimmen. Auch hier, ebenso wie im im vorigen Abschnitt, reduziert sich also das Problem auf die L"osung einer algebraischen
-Gleichung. Diese L"osung ist f"ur hohe Polynomgrade nur numerisch m"oglich. Dies und die Tatsache, da"s man nicht genau wei"s, wie eine 'gute' N"aherung zu
-w"ahlen
-ist, reduziert die Brauchbarkeit dieser beiden N"aherungen.
+Falls wir mehr als zwei mögliche Werte für $x$ bzw. $t$ haben, müssen wir eine Rekursion höherer Ordnung lösen; dazu sind bekanntlich die Nullstellen des
+charakteristischen Polynoms zu bestimmen. Auch hier, ebenso wie im im vorigen Abschnitt, reduziert sich also das Problem auf die Lösung einer algebraischen
+Gleichung. Diese Lösung ist für hohe Polynomgrade nur numerisch möglich. Dies und die Tatsache, daß man nicht genau weiß, wie eine 'gute' Näherung zu
+wählen
+ist, reduziert die Brauchbarkeit dieser beiden Näherungen.
 
-\item {\bf Approximation f"ur starke Auslastung ('Heavy traffic approximation')}
+\item {\bf Approximation für starke Auslastung ('Heavy traffic approximation')}
 
 Wir betrachten den Fall $\rho \approx 1$. \\
 Ausgangspunkt unserer Betrachtungen ist die Spektralzerlegung der $G/G/1$:
 \[\frac{\Psi^{+}(s)}{\Psi^{-}(s)}=\tilde A (-s)\tilde B (s)-1 ~.\]
-F"ur $s \rightarrow 0$ erhalten wir daraus die Entwicklung
+Für $s \rightarrow 0$ erhalten wir daraus die Entwicklung
 \begin{eqnarray*}
-  \frac{\Psi^{+}(s)}{\Psi^{-}(s)}&=&(\E(t)-\E(x))s+\frac{s^{2}}{2}\E((x-t)^{2})+o(s^{2})= \\   
+  \frac{\Psi^{+}(s)}{\Psi^{-}(s)}&=&(\E(t)-\E(x))s+\frac{s^{2}}{2}\E((x-t)^{2})+o(s^{2})= \\
                                  &=&(1-\rho)s\E(t)+\frac{s^{2}}{2}\E((x-t)^{2})+o(s^{2})=  \\
                                  &=&(1-\rho)s\E(t)+\frac{s^{2}}{2}({\bf Var}(x)+{\bf Var}(t)+ \\
                                  &+&(1-\rho)^{2}(\E(t))^{2}) + o(s^{2}) ~.
 \end{eqnarray*}
-F"ur $\rho \approx 1$ ist $(1-\rho)^{2}(\E(t))^{2}$ zu vernachl"assigen, also
+Für $\rho \approx 1$ ist $(1-\rho)^{2}(\E(t))^{2}$ zu vernachlässigen, also
 \begin{eqnarray*}
   \frac{\Psi^{+}(s)}{\Psi^{-}(s)}&\approx&(1-\rho)s\E(t)+\frac{s^{2}}{2}({\bf Var}(x)+{\bf Var}(t))+o(s^{2}) \approx \\
   &\approx&s(s-s_{0}) \frac{{\bf Var}(x)+{\bf Var}(t)}{2} ~.
 \end{eqnarray*}
 
-$\Psi^{+}(s)$ ist in der N"ahe von $0$ stetig, also haben wir
+$\Psi^{+}(s)$ ist in der Nähe von $0$ stetig, also haben wir
 \[\Psi^{+}(s) \approx Cs(s-s_{o})\]
 mit
 \[s_{0}=-\frac{2(1-\rho)\E(t)}{{\bf Var}(x)+{\bf Var}(t)} \]
@@ -134,47 +134,47 @@ und
 \[C=\Psi^{-}(0)\frac{{\bf Var}(x)+{\bf Var}(t)}{2} ~. \]
 Wir erhalten daraus
 \[\Phi(s) \approx -\frac{s_{0}}{s(s-s_{0})}=\frac{1}{s}-\frac{1}{s-s_{0}} ~.\]
-Also ergibt sich f"ur die Verteilungsfunktion der Wartezeit
+Also ergibt sich für die Verteilungsfunktion der Wartezeit
 \[ F(y) \approx 1 - e^{-y\frac{2\E(t)(1-\rho)}{{\bf Var}(x)+{\bf Var}(t)}} ~.\]
-Die Wartezeit ist also n"aherungsweise exponentialverteilt mit Mittel
+Die Wartezeit ist also näherungsweise exponentialverteilt mit Mittel
 \[\E(w)=\frac{{\bf Var}(x)+{\bf Var}(t)}{2\E(t)(1-\rho)} ~.\]
-Dieses Ergebnis kann man als \index{Satz!Zentraler Grenzwertsatz f\"{u}r Warteschlangen}'zentralen Grenzwertsatz' f"ur Warteschlangen betrachten.
+Dieses Ergebnis kann man als \index{Satz!Zentraler Grenzwertsatz für Warteschlangen}'zentralen Grenzwertsatz' für Warteschlangen betrachten.
 
 Das Mittel dieser Exponentialverteilung haben wir bereits als obere
-Absch"atzung f"ur die mittlere Wartezeit erhalten.
+Abschätzung für die mittlere Wartezeit erhalten.
 
 \item{\bf Die Flussapproximation}
 
-Diese N"aherung geht von einer einfachen Idee aus:\\
-Wir ersetzen die Ank"unfte und Bedienvorg"ange durch konstante Str"ome von $\lambda$ bzw. $\mu$ Kunden
-pro Zeiteinheit. In unserem Standardmodell $(\lambda < \mu)$ ergibt sich aus dieser N"aherung nat"urlich, da"s die 
+Diese Näherung geht von einer einfachen Idee aus:\\
+Wir ersetzen die Ankünfte und Bedienvorgänge durch konstante Ströme von $\lambda$ bzw. $\mu$ Kunden
+pro Zeiteinheit. In unserem Standardmodell $(\lambda < \mu)$ ergibt sich aus dieser Näherung natürlich, daß die
 Schlange stets leer ist, was offensichtlich nicht sehr brauchbar ist.
 
-F"ur zwei F"alle gibt diese Approximation aber doch interessante Resultate:
+Für zwei Fälle gibt diese Approximation aber doch interessante Resultate:
    \begin{enumerate}
-   \item Falls $\mu < \lambda$ ist, w"achst die Anzahl der Kunden im System um $(\lambda - \mu)$ Kunden pro Zeiteinheit. 
-   \item Falls $\lambda < \mu$ ist, und falls die Anzahl der Kunden gro"s ist, kann man die Zeit, bis das System wieder leer ist, mit Hilfe dieser
-         N"aherung berechnen.
+   \item Falls $\mu < \lambda$ ist, wächst die Anzahl der Kunden im System um $(\lambda - \mu)$ Kunden pro Zeiteinheit.
+   \item Falls $\lambda < \mu$ ist, und falls die Anzahl der Kunden groß ist, kann man die Zeit, bis das System wieder leer ist, mit Hilfe dieser
+         Näherung berechnen.
    \end{enumerate}
 
-\item{\bf Die Diffusionsn"aherung}
+\item{\bf Die Diffusionsnäherung}
 
-Dies ist wie die vorige N"aherung eine Approximation durch einen kontinuierlichen Proze"s. Diesmal wird auch die Varianz betrachtet.
+Dies ist wie die vorige Näherung eine Approximation durch einen kontinuierlichen Prozeß. Diesmal wird auch die Varianz betrachtet.
 
 Es sei $N_{a}(u)$ die Anzahl der Kunden, die bis zur Zeit $t$ ankommen.\\
 Es gilt die Beziehung
 \[ N_{a}(u) \geq n \Leftrightarrow T_{n} \geq u \]
-$T_{n}$ ist, wie "ublich, die Ankunftszeit des $n$-ten Kunden.
+$T_{n}$ ist, wie üblich, die Ankunftszeit des $n$-ten Kunden.
 
-Aus dem Gesetz der gro"sen Zahlen folgt:
+Aus dem Gesetz der großen Zahlen folgt:
 \[ T_{n} \approx n\E(t) ~.\]
 Das impliziert
 \[N_{a}(u) \approx \lambda u ~. \]
 Der zentrale Grenzwertsatz gibt uns
 \[\PP(T_{n} \leq n\E(t)+z\sqrt{n{\bf Var}(t)}) = \Phi (z) ~.   \]
-Daraus ergibt sich f"ur gro"ses n
+Daraus ergibt sich für großes n
 \begin{eqnarray*}
-& &\PP(N_{a}\geq\lambda u + y\sqrt{u}) = \\ 
+& &\PP(N_{a}\geq\lambda u + y\sqrt{u}) = \\
 & & ~ ~=\PP(T_{\lambda u + y\sqrt{u}} \leq u) = \\
 & & ~ ~=\PP(T_{\lambda u + y\sqrt{u}} \leq \E(t)(\lambda u + y\sqrt{u}) - y\E(t)\sqrt{u} ) = \\
 & & ~ ~=\PP(T_{\lambda u + y\sqrt{u}} \leq \E(t)(\lambda u + y\sqrt{u}) - \\
@@ -183,22 +183,22 @@ Daraus ergibt sich f"ur gro"ses n
 & & ~ ~ ~ ~ ~-\frac{y}{\sqrt{\lambda ^{3}{\bf Var}(t)}}\sqrt{{\bf Var}(t)(\lambda u + y\sqrt{u})}) \\
 & &~ ~=1 - \Phi(\frac{y}{\sqrt{\lambda ^{3}{\bf Var}(t)}}) ~.
 \end{eqnarray*}
-$N_{a}(u)$ ist also n"aherungsweise normalverteilt mit Mittel $u\lambda$ und Varianz $u\lambda^{3}{\bf Var}(t)$. Genauso erh"alt man f"ur die Anzahl $N_{b}(u)$
+$N_{a}(u)$ ist also näherungsweise normalverteilt mit Mittel $u\lambda$ und Varianz $u\lambda^{3}{\bf Var}(t)$. Genauso erhält man für die Anzahl $N_{b}(u)$
 der
-Kunden, die w"ahrend der Zeit $u$ bedient werden (wenn die Schlange nicht leer ist) eine n"aherungsweise Normalverteilung mit Mittel $\mu u$ und Varianz
-$\mu^{3}u{\bf Var}(x)$. Wir nehmen jetzt an, da"s diese Werte durch kontinuierliche Beitr"age zustande kommen, d.h. die 'Anzahl' der Ank"unfte (bzw.
-Bedienvorg"ange)
+Kunden, die während der Zeit $u$ bedient werden (wenn die Schlange nicht leer ist) eine näherungsweise Normalverteilung mit Mittel $\mu u$ und Varianz
+$\mu^{3}u{\bf Var}(x)$. Wir nehmen jetzt an, daß diese Werte durch kontinuierliche Beiträge zustande kommen, d.h. die 'Anzahl' der Ankünfte (bzw.
+Bedienvorgänge)
 in der kurzen Zeit $\Delta u$ soll normalverteilt mit Mittel $\lambda\Delta u$ (bzw. $\mu\Delta u$) und Varianz $\lambda^{3}\Delta u{\bf Var}(t)$ (bzw.
 $\mu^{3}\Delta
-u{\bf Var}(x)$) sein. Die Anzahl der Ank"unfte bzw. Bedienvorg"ange "uber disjunkten Intervallen sollen nat"urlich unabh"angig sein. Die "Anderung der Anzahl der
+u{\bf Var}(x)$) sein. Die Anzahl der Ankünfte bzw. Bedienvorgänge über disjunkten Intervallen sollen natürlich unabhängig sein. Die Änderung der Anzahl der
 Kunden
-im System w"ahrend der Zeit $\Delta u$ ist dann normalverteilt mit Mittel $\Delta u(\lambda - \mu)$ und Varianz $\Delta u\sigma^{2}$ mit $\sigma^{2} =
+im System während der Zeit $\Delta u$ ist dann normalverteilt mit Mittel $\Delta u(\lambda - \mu)$ und Varianz $\Delta u\sigma^{2}$ mit $\sigma^{2} =
 \lambda^{3}{\bf Var}(t) + \mu^{3}{\bf Var}(x)$.\\
-(Die letzte Beziehung gilt nat"urlich nur, wenn die Anzahl der Kunden im System $> 0$ ist).
+(Die letzte Beziehung gilt natürlich nur, wenn die Anzahl der Kunden im System $> 0$ ist).
 
-Es sei nun 
+Es sei nun
 \[F(x,u) = \PP(N(u) \leq x) ~.\]
-Wir stellen eine Gleichung f"ur $F(x,u+\Delta u)$ auf, dabei sei $X(\Delta u)$ die "Anderung der Kunden w"ahrend $\Delta u$: 
+Wir stellen eine Gleichung für $F(x,u+\Delta u)$ auf, dabei sei $X(\Delta u)$ die Änderung der Kunden während $\Delta u$:
 \begin{eqnarray*}
 F(x,u+\Delta u)&=&\PP(N(u+\Delta u) \leq x) = \\
                &=&\PP(N(u)+X(\Delta u) \leq x) = \\
@@ -211,7 +211,7 @@ F(x,u+\Delta u)&=&\PP(N(u+\Delta u) \leq x) = \\
                &=&F(x,u)-F_{x}(x,u)\Delta u(\lambda-\mu) + \\
                & &+\frac{1}{2}F_{xx}(x,u)\sigma^{2}\Delta u + o(\Delta u) ~.
 \end{eqnarray*}
-Wenn man $F(x,u)$ nach links bringt, durch $\Delta u$ dividiert, und $\Delta u \rightarrow 0$ gehen l"a"st, ergibt sich
+Wenn man $F(x,u)$ nach links bringt, durch $\Delta u$ dividiert, und $\Delta u \rightarrow 0$ gehen läßt, ergibt sich
 \begin{eqnarray*}
 F_{u}(x,u)&=&(\mu - \lambda)F_{x}(x,u) + \frac{1}{2}\sigma^{2}F_{xx}(x,u) \qquad (x \geq 0) \\
       & & \\
@@ -219,10 +219,10 @@ F(x,0)&=&1 \qquad (x \geq 0) \\
 F(x,0)&=&0 \qquad (x < 0) \\
 F(0,u)&=&0 \qquad (u > 0) ~.
 \end{eqnarray*}
-Die Anfangsbedingung ergibt sich aus der Forderung, da"s das System zur Zeit $0$ leer sein soll, und die Randbedingung daraus, da"s die Anzahl der Kunden nicht
+Die Anfangsbedingung ergibt sich aus der Forderung, daß das System zur Zeit $0$ leer sein soll, und die Randbedingung daraus, daß die Anzahl der Kunden nicht
 negativ sein darf.
 
-Man kann sehr leicht die L"osung der Gleichung ohne Randbedingung finden, indem man die Laplace-Transformation anwendet:
+Man kann sehr leicht die Lösung der Gleichung ohne Randbedingung finden, indem man die Laplace-Transformation anwendet:
 \[G(z,u)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-xz}F(x,u)dx ~.\]
 Wir erhalten nach einigen partiellen Integrationen:
 \[G_{u}(z,u) = (\mu-\lambda)zG(z,u)+\frac{1}{2}\lambda^{2}z^{2}G(z,u) ~, \]
@@ -232,49 +232,48 @@ und, da $G(z,0)=\frac{1}{z}$
 \[G(z,u) = \frac{1}{z}e^{\frac{1}{2}\sigma^{2}uz^{2}+(\mu - \lambda)zu} ~.\]
 Die Inversion der Laplace-Transformation liefert
 \[F(x,u)=\Phi\left(\frac{x+(\mu - \lambda)u}{\sqrt{\sigma^{2}u}}\right) ~.  \]
-Um die Gleichung mit der Randbedingung zu l"osen, suchen wir zuerst die station"are Verteilung. Diese ergibt sich aus der obigen Gleichung, wenn $F(x,u)$ nicht
-von $u$ abh"angt. Dann ist nat"urlich die Ableitung nach $u = 0$, und wir erhalten:
+Um die Gleichung mit der Randbedingung zu lösen, suchen wir zuerst die stationäre Verteilung. Diese ergibt sich aus der obigen Gleichung, wenn $F(x,u)$ nicht
+von $u$ abhängt. Dann ist natürlich die Ableitung nach $u = 0$, und wir erhalten:
 \[ F'_{0}(x)(\mu - \lambda)+\frac{1}{2}\sigma^{2}F''(x)=0 ~. \]
-Diese Gleichung hat die allgemeine L"osung
+Diese Gleichung hat die allgemeine Lösung
 \[F(x) = C_{1}+C_{2}e^{\frac{2(\lambda - \mu)}{\sigma^{2}}x} ~. \]
 Da $F(0) = 0$ und $F(\infty) = 1$ sein soll, erhalten wir
 \[F(x) = 1-e^{\frac{2(\lambda - \mu)}{\sigma^{2}}x} ~.  \]
-Es ergibt sich also wieder eine Exponentialverteilung f"ur die Wartezeit. F"ur $\rho \rightarrow 1$ stimmt diese Verteilung in erster N"aherung mit der aus
-Abschnitt $3.$ "uberein. Mit etwas mehr Arbeit kann man die folgende L"osung der partiellen Differentialgleichung erhalten:
+Es ergibt sich also wieder eine Exponentialverteilung für die Wartezeit. Für $\rho \rightarrow 1$ stimmt diese Verteilung in erster Näherung mit der aus
+Abschnitt $3.$ überein. Mit etwas mehr Arbeit kann man die folgende Lösung der partiellen Differentialgleichung erhalten:
 \[F(x,u)=\Phi\left(\frac{x+u(\mu - \lambda)}{\sqrt{\sigma^{2}u}}\right)-e^{\frac{2(\mu - \lambda)}{\sigma^{2}}x}\Phi\left(\frac{-x+u(\mu -
-\lambda)}{\sigma^{2}}\right) ~.\] 
+\lambda)}{\sigma^{2}}\right) ~.\]
 \end {enumerate}
 %------------------------------------------------------------------------------------
 \chapter{Time-Sharing}
 %------------------------------------------------------------------------------------
 Wir wollen jetzt unsere Kenntnisse auf eine Analyse von Fragen anwenden, die bei Time-sharing Anwendungen auftreten. \\
-Wir betrachten den einfachsten Fall, da"s nur eine CPU vorhanden ist, die 'gleichzeitig' mehrere Programme bearbeiten mu"s.
-Dazu wird jeweils eines der wartenden Programme ausgew"ahlt, in den Hauptspeicher geladen, eine kurze Zeit (die sog. \index{Zeitscheibe}'Zeitscheibe') gerechnet,
+Wir betrachten den einfachsten Fall, daß nur eine CPU vorhanden ist, die 'gleichzeitig' mehrere Programme bearbeiten muß.
+Dazu wird jeweils eines der wartenden Programme ausgewählt, in den Hauptspeicher geladen, eine kurze Zeit (die sog. \index{Zeitscheibe}'Zeitscheibe') gerechnet,
 aus dem
-Hauptspeicher entfernt, und das Spiel mit dem n"achsten Programm fortgesetzt. Jedes Programm braucht eine bestimmte \index{Rechenzeit}Rechenzeit $x$, und sobald
+Hauptspeicher entfernt, und das Spiel mit dem nächsten Programm fortgesetzt. Jedes Programm braucht eine bestimmte \index{Rechenzeit}Rechenzeit $x$, und sobald
 diese Zeit (in
-Form von einzelnen Zeitscheiben) abgearbeitet ist, verl"a"st das Programm das System. Da wir keine a-priori Information "uber die Rechenzeit eines Programmes 
-voraussetzen, k"onnen wir die Jobs nur aufgrund der schon verbrauchten Rechenzeit klassifizieren, und die Auswahl des n"achsten Programms nach dieser verbrauchten 
-Rechenzeit treffen. Dabei k"onnen wir verschiedene Ziele verfolgen:
-\begin{enumerate}
+Form von einzelnen Zeitscheiben) abgearbeitet ist, verläßt das Programm das System. Da wir keine a-priori Information über die Rechenzeit eines Programmes
+voraussetzen, können wir die Jobs nur aufgrund der schon verbrauchten Rechenzeit klassifizieren, und die Auswahl des nächsten Programms nach dieser verbrauchten
+Rechenzeit treffen. Dabei können wir verschiedene Ziele verfolgen:
+
 \begin{enumerate}
-\item kurze Programme sollen m"oglichst schnell erledigt werden. Dadurch wird die Anzahl der Programme im System klein gehalten, was den Verwaltungsaufwand
-reduziert; au"serdem ist es psychologisch ung"unstig, wenn ein Kunde auf ein 2-Sekunden-Programm eine Stunde warten mu"s. 
-\item eine m"oglichst 'gerechte' Verteilung w"are eine, bei der die Zeit, die ein Job im System verbringt, proportional zur Rechenzeit ist; nur dann ist es nicht 
-m"oglich, durch Aufteilen eines langen Programmes in mehrere k"urzere bzw. durch Zusammenfassen mehrere k"urzere Programme einen Zeitgewinn zu erzielen.
-\end{enumerate} 
+\item kurze Programme sollen möglichst schnell erledigt werden. Dadurch wird die Anzahl der Programme im System klein gehalten, was den Verwaltungsaufwand
+reduziert; außerdem ist es psychologisch ungünstig, wenn ein Kunde auf ein 2-Sekunden-Programm eine Stunde warten muß.
+\item eine möglichst 'gerechte' Verteilung wäre eine, bei der die Zeit, die ein Job im System verbringt, proportional zur Rechenzeit ist; nur dann ist es nicht
+möglich, durch Aufteilen eines langen Programmes in mehrere kürzere bzw. durch Zusammenfassen mehrere kürzere Programme einen Zeitgewinn zu erzielen.
 \end{enumerate}
 
 Wir machen folgende Annahmen:
 \begin{enumerate}
-\item Die Ank"unfte erfolgen nach einem Poissonproze"s mit Rate $\lambda$, die Rechenzeiten sind unabh"angig mit Verteilungsfunktion $B$ (wir haben also eine
+\item Die Ankünfte erfolgen nach einem Poissonprozeß mit Rate $\lambda$, die Rechenzeiten sind unabhängig mit Verteilungsfunktion $B$ (wir haben also eine
 $M/G/1$-Situation) mit Dichte $b$.
-\item Die Zeitscheibe nehmen wir als infinitesimal an; weiters nehmen wir an, da"s wir die Zeit zum Austauschen vernachl"assigen k"onnen.
-\item Wir betrachten nur die station"aren Verteilungen.
+\item Die Zeitscheibe nehmen wir als infinitesimal an; weiters nehmen wir an, daß wir die Zeit zum Austauschen vernachlässigen können.
+\item Wir betrachten nur die stationären Verteilungen.
 \end{enumerate}
-$N(u)$ sei die mittlere Anzahl von Jobs, deren verbrauchte Rechenzeit $\leq u$ ist. Dazu m"oge eine Dichte $n(u)$ existieren, soda"s
+$N(u)$ sei die mittlere Anzahl von Jobs, deren verbrauchte Rechenzeit $\leq u$ ist. Dazu möge eine Dichte $n(u)$ existieren, sodaß
 \[N(u)=\int_{0}^{u}n(s)ds  \]
-ist. 
+ist.
 
 $T(u)$ sei die Zeit, die im Durchschnitt vergeht, bis ein Job $u$ Sekunden Rechenzeit bekommt. \\
 $W(u)$ sei die Wartezeit eines Jobs mit $u$ Sekunden Rechenzeit, also
@@ -287,7 +286,7 @@ Mithilfe des Satzes von Little ergibt sich die Beziehung
 Wir betrachten die folgende Strategien:
 \begin{enumerate}
 \item {\bf FCFS} ('Batch')
-\item {\bf LCFS} (pr"a-emptiv): ein Job, der das System betritt, wird sofort bearbeitet (ein eventuell laufender Job wird dazu unterbrochen); wenn ein Job fertig
+\item {\bf LCFS} (prä-emptiv): ein Job, der das System betritt, wird sofort bearbeitet (ein eventuell laufender Job wird dazu unterbrochen); wenn ein Job fertig
 ist, wird der zuletzt unterbrochene weiterbearbeitet.
 \item {\bf \index{Round Robin}Round Robin (RR)}: alle Jobs, die im System sind, werden der Reihe nach bearbeitet (abwechselnd).
 \item Es wird jeweils der Job bearbeitet, der am wenigsten Rechenzeit verbraucht hat.
@@ -295,13 +294,13 @@ ist, wird der zuletzt unterbrochene weiterbearbeitet.
 Es sollte Strategie 4 kurze Jobs am meisten bevorzugen, 1 am wenigsten, 2 und 3 sollten dazwischen liegen.
 
 \begin{enumerate}
-\item Kennen wir von fr"uher; hier ist die Wartezeit $W(u)$ konstant, und zwar ist
+\item Kennen wir von früher; hier ist die Wartezeit $W(u)$ konstant, und zwar ist
 \[W(u) = \frac{\lambda \E(x^{2})}{2(1-\rho)} \]
 und
 \[T(u) = u + \frac{\lambda \E(x^{2})}{2(1-\rho)} ~.  \]
-\item Hier ist $T(u)$ leicht zu bestimmen. Denn $T(u)$ ist gleich der Rechenzeit $u$ plus der Summe der Rechenzeiten aller Programme, die w"ahrend $T(u)$
+\item Hier ist $T(u)$ leicht zu bestimmen. Denn $T(u)$ ist gleich der Rechenzeit $u$ plus der Summe der Rechenzeiten aller Programme, die während $T(u)$
 ankommen.
-W"ahrend $T(u)$ kommen $\lambda T(u)$ Programme an, jedes bringt im Schnitt $\E(x)$ Sekunden Rechenzeit mit, also gilt
+Während $T(u)$ kommen $\lambda T(u)$ Programme an, jedes bringt im Schnitt $\E(x)$ Sekunden Rechenzeit mit, also gilt
 \[T(u) = u + \lambda T(u)\E(x)=u + \rho T(u) ~,\]
 also
 \[T(u)=\frac{u}{1-\rho} ~. \]
@@ -309,11 +308,11 @@ Wir haben also ein 'gerechtes' Verfahren gefunden.
 \item Wenn sich $N$ Programme im System befinden, bekommt ein bestimmtes Programm $\frac{1}{N}$ der gesamten Rechenzeit. \\
 Daher ist $dT(u) = Ndu$. Da nur gerechnet wird, wenn das System nicht leer ist, ergibt sich:
 \[ T(u)=u\E(N \mid N \not= 0)=Cu, \]
-also wieder ein 'gerechtes' System. Um $C$ zu bestimmen, betrachten wir den Fall $u \rightarrow \infty$. Wenn $u$ gro"s ist, werden die meisten Jobs, die w"ahrend
-$T(u)$ ankommen, auch noch w"ahrend $T(u)$ das System verlassen. F"ur gro"ses $u$ ist also das Verhalten "ahnlich wie im vorigen Fall, und wir erhalten wieder
+also wieder ein 'gerechtes' System. Um $C$ zu bestimmen, betrachten wir den Fall $u \rightarrow \infty$. Wenn $u$ groß ist, werden die meisten Jobs, die während
+$T(u)$ ankommen, auch noch während $T(u)$ das System verlassen. Für großes $u$ ist also das Verhalten ähnlich wie im vorigen Fall, und wir erhalten wieder
 \[T(u)=\frac{u}{1-\rho} ~. \]
-\item Wenn wir ein Programm betrachten, das genau $u$ Sekunden Rechenzeit ben"otigt, dann sehen wir, da"s f"ur $T(u)$ von der Rechenzeit aller anderen Programme
-nur der Teil von Bedeutung ist, der kleiner als $u$ ist. Aus der Sicht dieses Programmes k"onnen wir also $x$ durch $(x \land u)$ ersetzen, und die
+\item Wenn wir ein Programm betrachten, das genau $u$ Sekunden Rechenzeit benötigt, dann sehen wir, daß für $T(u)$ von der Rechenzeit aller anderen Programme
+nur der Teil von Bedeutung ist, der kleiner als $u$ ist. Aus der Sicht dieses Programmes können wir also $x$ durch $(x \land u)$ ersetzen, und die
 Verteilungsfunktion $B$ durch:
 \[
 B_{u}(y) =  \left\{
@@ -321,30 +320,30 @@ B_{u}(y) =  \left\{
 B(y) & y<u \\
 1 & y \geq u
 \end{array} \right. ~.
-\] 
+\]
 $W(u)$ setzt sich jetzt zusammen aus der restlichen Rechenzeit aller Programme, die vor unserem Programm angekommen sind, plus der Summe der Rechenzeiten von
-allen Programmen, die w"ahrend $T(u)$ ankommen. Der erste Teil ist im Mittel gleich der Wartezeit in $M_{\lambda}/B_{u}/1$, also gleich
+allen Programmen, die während $T(u)$ ankommen. Der erste Teil ist im Mittel gleich der Wartezeit in $M_{\lambda}/B_{u}/1$, also gleich
 \[W_{u}=\frac{\lambda \E((x \land u)^{2})}{2(1-\rho _{u})}  \]
 mit
 \[\rho _{u}=\lambda \E(x \wedge u) ~.\]
-F"ur den zweiten Teil ergibt sich
+Für den zweiten Teil ergibt sich
 \[\lambda T(u)\E(x \wedge u) = T(u)\rho _{u} ~.\]
 Wir bekommen die Gleichung
 \[T(u)=u+W_{u}+\rho _{u}T(u) ~,  \]
 also
 \[T(u)=\frac{u+W_{u}}{1-\rho_{u}} ~. \]
-F"ur $u \rightarrow 0$ ergibt sich
+Für $u \rightarrow 0$ ergibt sich
 \[T(u) \approx u ~, \]
-f"ur $u \rightarrow \infty$
+für $u \rightarrow \infty$
 \[T(u) \approx \frac{u}{1-\rho} ~. \]
 \end{enumerate}
- 
+
 %-------------------------------------------------------------------------------------------
-\chapter{Priorit"aten}
+\chapter{Prioritäten}
 %----------------------------------------------------------------------------------------------
-Wir betrachten den Fall, da"s es mehrere \index{Klassen}Klassen von Kunden gibt, die von unserem System unterschiedlich behandelt werden. Genauer gesagt soll es
+Wir betrachten den Fall, daß es mehrere \index{Klassen}Klassen von Kunden gibt, die von unserem System unterschiedlich behandelt werden. Genauer gesagt soll es
 $p > 0$ Klassen
-von Kunden geben. Die Kunden aus Klasse $i$ kommen nach einem Poissonproze"s mit Rate $\lambda_{i}$ an und ben"otigen eine Bedienzeit mit Verteilungsfunktion
+von Kunden geben. Die Kunden aus Klasse $i$ kommen nach einem Poissonprozeß mit Rate $\lambda_{i}$ an und benötigen eine Bedienzeit mit Verteilungsfunktion
 $B_{i}$ (wir betrachten also wieder eine $M/G/1$-Situation). Weiters sei
 \begin{eqnarray*}
 \lambda &=& \sum_{i=1}^{p}\lambda _{i} \\
@@ -352,12 +351,12 @@ B(y) &=& \frac{1}{\lambda}\sum_{i=1}^{p}\lambda _{i}B_{i}(y) \\
 \rho _{i} &=& \lambda _{i}\int ydB_{i}(y) \\
 \rho &=& \lambda \int ydB(y) ~.
 \end{eqnarray*}
-Es gibt jetzt eine ganze Reihe von M"oglichkeiten, Disziplinen zu definieren, die eine Klasse gegeb"uber anderen bevorzugen. Wir sprechen von unterschiedlichen
-{\bf \index{Priorit\"{a}ten}Priorit"aten}.
+Es gibt jetzt eine ganze Reihe von Möglichkeiten, Disziplinen zu definieren, die eine Klasse gegebüber anderen bevorzugen. Wir sprechen von unterschiedlichen
+{\bf \index{Prioritäten}Prioritäten}.
 
 Die Disziplinen, die wir untersuchen, sollen folgende Eigenschaften haben:
 \begin{enumerate}
-\item {\bf Nicht-pr"a-emptiv}: Ein einmal begonnener Bedienvorgang wird ohne Unterbrechung zu Ende gef"uhrt.
+\item {\bf Nicht-prä-emptiv}: Ein einmal begonnener Bedienvorgang wird ohne Unterbrechung zu Ende geführt.
 \item {\bf Arbeitserhaltend}: Niemand, der wartet, wird weggeschickt, ohne bedient zu worden zu sein.
 \end{enumerate}
 Weiters soll immer, wenn das System nicht leer ist, bedient werden.
@@ -366,83 +365,83 @@ Weiters soll immer, wenn das System nicht leer ist, bedient werden.
 \section{Ein Erhaltungssatz}
 %------------------------------
 
-$U_{t}$ sei die unverrichtete Zeit im System, d.h. die Zeit, die ben"otigt wird, um alle anwesenden Kunden fertig zu bedienen. Offensichtlich ist die Verteilung
-von $U_{t}$  unabh"angig von der Disziplin:  \\
-$U_{t}$ w"achst mit jeder Ankunft eines Kunden um seine Bedienzeit an, und f"allt pro Sekunde um $1$ Sekunde, solange $U_{t}>0$ ist. Die station"are Verteilung
-von $U_{t}$ entspricht der Verteilung der Wartezeit eines zuf"allig ankommenden Kunden bei der FCFS-Disziplin. \\
+$U_{t}$ sei die unverrichtete Zeit im System, d.h. die Zeit, die benötigt wird, um alle anwesenden Kunden fertig zu bedienen. Offensichtlich ist die Verteilung
+von $U_{t}$  unabhängig von der Disziplin:  \\
+$U_{t}$ wächst mit jeder Ankunft eines Kunden um seine Bedienzeit an, und fällt pro Sekunde um $1$ Sekunde, solange $U_{t}>0$ ist. Die stationäre Verteilung
+von $U_{t}$ entspricht der Verteilung der Wartezeit eines zufällig ankommenden Kunden bei der FCFS-Disziplin. \\
 Insbesondere ist
 \[\E(U) = \frac{\lambda \E(x^{2})}{2(1-\rho)} ~  \]
 wobei $x$ nach der Funktion $B$ verteilt ist.
 
-Wir berechnen jetzt $\E(U)$ auf eine andere Art. Dazu bezeichnen wir mit $W_{i}$, $i=1, \dots , p$, die mittlere Wartezeit eines Kunden mit Priorit"at $i$, und
+Wir berechnen jetzt $\E(U)$ auf eine andere Art. Dazu bezeichnen wir mit $W_{i}$, $i=1, \dots , p$, die mittlere Wartezeit eines Kunden mit Priorität $i$, und
 mit
-$N_{i}$ die Anzahl der Kunden aus der $i$-ten Priorit"atsgruppe in der Warteschlange.
+$N_{i}$ die Anzahl der Kunden aus der $i$-ten Prioritätsgruppe in der Warteschlange.
 
-$\E(U)$ setzt sich jetzt aus folgenden Beitr"agen zusammen:
+$\E(U)$ setzt sich jetzt aus folgenden Beiträgen zusammen:
 \begin{enumerate}
-\item $W_{0}$: die mittlere restliche Bedienzeit f"ur den Kunden, der gerade bedient wird.
-\item Die Summe der mittleren Bedienzeiten f"ur alle Kunden, die sich in der Warteschlange befinden.
+\item $W_{0}$: die mittlere restliche Bedienzeit für den Kunden, der gerade bedient wird.
+\item Die Summe der mittleren Bedienzeiten für alle Kunden, die sich in der Warteschlange befinden.
 \end{enumerate}
-Um $W_{0}$ zu bestimmen, stellen wir fest, da"s $W_{0}$ gleich der Zeit ist, die ein zuf"allig ankommender Kunde warten mu"s, bis der Kunde fertig ist, der gerade
+Um $W_{0}$ zu bestimmen, stellen wir fest, daß $W_{0}$ gleich der Zeit ist, die ein zufällig ankommender Kunde warten muß, bis der Kunde fertig ist, der gerade
 bedient wird. Mit Wahrscheinlichkeit $(1-\rho)$ findet der ankommende Kunde das System leer vor. Falls der Server besetzt ist, kann man die Verteilung der
-restlichen Bedienzeit folgenderma"sen bestimmen: \\
-Wir betrachten eine gro"se Anzahl $n$ von unabh"angigen Variablen mit Verteilung $B$. Ihre Summe ist nach dem Gesetz der gro"sen Zahlen $\approx n\E(x)$. Wenn wir
-in dem Intervall der L"ange $n\E(x)$ einen Punkt zuf"allig w"ahlen, ist die Chance, da"s wir bis zum Ende des Teilintervalls, in das der zuf"allig gew"ahlte Punkt
-f"allt, einen Abstand zwischen $u$ und $u+\Delta u$ haben, gleich $\frac{\Delta u}{n\E(x)}$ mal der Anzahl der Intervalle mit L"ange $> u$, also
-\[  \approx \frac{\Delta u}{n\E(x)}n(1-B(u)) ~.  \] 
- F"ur $n \rightarrow \infty$ ergibt sich f"ur die Verteilung der restlichen Wartezeit die Dichte
+restlichen Bedienzeit folgendermaßen bestimmen: \\
+Wir betrachten eine große Anzahl $n$ von unabhängigen Variablen mit Verteilung $B$. Ihre Summe ist nach dem Gesetz der großen Zahlen $\approx n\E(x)$. Wenn wir
+in dem Intervall der Länge $n\E(x)$ einen Punkt zufällig wählen, ist die Chance, daß wir bis zum Ende des Teilintervalls, in das der zufällig gewählte Punkt
+fällt, einen Abstand zwischen $u$ und $u+\Delta u$ haben, gleich $\frac{\Delta u}{n\E(x)}$ mal der Anzahl der Intervalle mit Länge $> u$, also
+\[  \approx \frac{\Delta u}{n\E(x)}n(1-B(u)) ~.  \]
+ Für $n \rightarrow \infty$ ergibt sich für die Verteilung der restlichen Wartezeit die Dichte
 \[f(u)=\frac{1-B(u)}{\E(x)} ~. \]
-Schlie"slich ist
+Schließlich ist
 \[W_{0}=\rho \int_{0}^{\infty}uf(u)du = \frac{\rho \E(x^{2})}{2\E(x)}=\frac{\lambda \E(x^{2})}{2} ~. \]
-Die Summe der Bedienzeiten der Kunden in der Warteschlange ergibt sich nat"urlich aus der Summe der gesamten Bedienzeiten der Kunden in den einzelnen Gruppen.
-Es sind im Schnitt $N_{i}$ Kunden aus der $i$-ten Gruppe anwesend. F"ur jeden wird im Schnitt eine Bedienzeit $\E(x_{i})$ ($x_{i}$ soll eine $ZV$ mit Verteilung
-$B_{i}$ sein) ben"otigt. \\
+Die Summe der Bedienzeiten der Kunden in der Warteschlange ergibt sich natürlich aus der Summe der gesamten Bedienzeiten der Kunden in den einzelnen Gruppen.
+Es sind im Schnitt $N_{i}$ Kunden aus der $i$-ten Gruppe anwesend. Für jeden wird im Schnitt eine Bedienzeit $\E(x_{i})$ ($x_{i}$ soll eine $ZV$ mit Verteilung
+$B_{i}$ sein) benötigt. \\
 Damit gilt
 \[\E(U)=W_{0}+\sum_{i=1}^{p}\E(x_{i})N_{i}=\frac{W_{0}}{1-\rho} ~. \]
-Nach Little gilt $N_{i}=\lambda_{i}W_{i}$, also schlie"slich
+Nach Little gilt $N_{i}=\lambda_{i}W_{i}$, also schließlich
 \[ \sum_{i=1}^{p}\rho_{i}W_{i}=\frac{\rho W_{0}}{1-\rho}=\frac{\lambda \rho \E(x^{2})}{2(1-\rho)} ~.\]
-Dieses Ergebnis zeigt, da"s wir eine Gruppe nur bevorzugen k"onnen, indem eine andere Gruppe gr"o"sere Wartezeiten in Kauf nehmen mu"s.
+Dieses Ergebnis zeigt, daß wir eine Gruppe nur bevorzugen können, indem eine andere Gruppe größere Wartezeiten in Kauf nehmen muß.
 
 %----------------------------------------------------
-\section{Eine Methode zur Bestimmung der Wartezeit} 
+\section{Eine Methode zur Bestimmung der Wartezeit}
 %----------------------------------------------------
 
 Wir betrachten einen Kunden aus der Gruppe $i$, der das System betritt: \\
 $N_{ij} \dots$ mittlere Anzahl der Kunden aus Gruppe $j$, die unser Kunde im System antrifft, und die vor ihm bedient werden (ausgenommen der Kunde, der eventuell
 gerade bedient werden, wenn unser Kunde ankommt). \\
-$M_{ij} \dots$ mittlere Anzahl der Kunden aus Gruppe $j$, die w"ahrend der Wartezeit unseres Kunden ankommen und vor ihm bedient werden. \\
+$M_{ij} \dots$ mittlere Anzahl der Kunden aus Gruppe $j$, die während der Wartezeit unseres Kunden ankommen und vor ihm bedient werden. \\
 Damit gilt
 \[W_{i}=W_{0}+\sum_{j=1}^{p}(N_{ij}+M_{ij})\E(x_{j}) ~.  \]
-Wir verwenden diesen Zugang f"ur die einfachste Disziplin: \\
+Wir verwenden diesen Zugang für die einfachste Disziplin: \\
 Jeder Kunde aus Gruppe $i$ wird vor allen Kunden aus Gruppe $i-1$ bedient, und innerhalb einer Gruppe wird nach $FCFS$ gearbeitet. \\
 Dann ist
 \begin{eqnarray*}
 N_{ij}&=&0 \qquad j<i \\
 M_{ij}&=&0 \qquad j \leq i ~.
 \end{eqnarray*}
-F"ur $j \geq i$ ist
+Für $j \geq i$ ist
 \[N_{ij}=N_{j}=\lambda _{j}W_{j} ~. \]
-F"ur $j>i$ ist $M_{ij}$ die Anzahl der Kunden aus Gruppe $j$, die im Mittel w"ahrend $W_{i} = \lambda _{j}W_{i}$ ankommen.
+Für $j>i$ ist $M_{ij}$ die Anzahl der Kunden aus Gruppe $j$, die im Mittel während $W_{i} = \lambda _{j}W_{i}$ ankommen.
 
 Wir erhalten
 \begin{eqnarray*}
 W_{i}&=&W_{0}+\sum_{j=i}^{p}\rho _{j}W_{j}+\sum_{j=i+1}^{p}\rho_{j}W_{i} = \\
 &=&W_{0} + W_{i}\sum_{j=i}^{p}\rho_{j} + \sum_{j=i+1}^{p}\rho_{j}W_{j}
 \end{eqnarray*}
-oder 
+oder
 \[W_{i}(1-\sum_{j=i}^{p}\rho_{j})=W_{0}+\sum_{j=i+1}^{p}\rho_{j}W_{j} ~. \]
 Wir schreiben
 \[\sigma_{j} = \sum_{j=i}^{p}\rho_{j}  \]
 und erhalten
 \[W_{i-1}(1-\sigma_{i-1})=W_{i}(1-\sigma_{i})+\rho_{i}W_{i}=W_{i}(1-\sigma_{i+1}) ~, \]
-und schlie"slich
+und schließlich
 \[W_{i}=\frac{W_{0}}{(1-\sigma_{i})(1-\sigma_{i+1})} ~. \]
 
 %----------------------------------------------------------------------------
 \begin{appendix}
 \chapter{Transformationen}
 %----------------------------------------------------------------------------
-F"ur unsere Untersuchungen ben"otigen wir die folgenden Transformationen:
+Für unsere Untersuchungen benötigen wir die folgenden Transformationen:
 \begin{enumerate}
 \item Die erzeugende Funktion oder \index{erzeugende Funktion}$z$ - Transformierte: Falls $p_{n}$, $n
 \geq 0$ eine diskrete Verteilung ist, nennen wir
@@ -453,8 +452,8 @@ die erzeugende Funktion von $(p_{n})$. Falls $X$ die Verteilung $(p_{n})$
 hat, so gilt
 \begin{displaymath}
 P^{*}(z) = \E (z^{X}) ~.
-\end{displaymath}  
-$P^{*}(z)$ existiert jedenfalls f"ur $|z|<1$. Bekanntlich kann man aus 
+\end{displaymath}
+$P^{*}(z)$ existiert jedenfalls für $|z|<1$. Bekanntlich kann man aus
 $P^{*}$ eindeutig $(p_{n})$ bestimmen:
 \begin{displaymath}
 p_{n} = \frac{1}{n!} P^{*^{n}} (0) ~.
@@ -468,33 +467,33 @@ hei\3t
 \begin{displaymath}
 \hat F(t) = \int_{0}^{\infty} e^{-xt} f(x)dx
 \end{displaymath}
-die \index{Laplace - Transformierte}Laplace - Transformierte von $f$. Dieses Integral ist f"ur $t \geq 0$
+die \index{Laplace - Transformierte}Laplace - Transformierte von $f$. Dieses Integral ist für $t \geq 0$
 endlich, und es gibt auch hier eine eindeutige Beziehung zwischen $\hat F$
 und $f$. Falls $X$ mit der Dichte $f$ verteilt ist, ist
 \begin{displaymath}
 \hat F(t) = \E (e^{-Xt}) ~.
 \end{displaymath}
 Diese Beziehung kann man auch verwenden, um die Laplace - Transformierte
-f"ur nicht stetige Verteilungen zu definieren.
-\end{enumerate}    
+für nicht stetige Verteilungen zu definieren.
+\end{enumerate}
 Es bestehen folgende Eigenschaften der Transformationen:
 \begin{enumerate}
-\item $P^{*}(z)$ ist regul"ar f"ur $|z| \leq 1$.
-\item $ \hat F(z)$ ist regul"ar f"ur $ \Re (z) \geq 0$. Falls $X$ eine
+\item $P^{*}(z)$ ist regulär für $|z| \leq 1$.
+\item $ \hat F(z)$ ist regulär für $ \Re (z) \geq 0$. Falls $X$ eine
 Verteilung $(p_{n})$ hat, ist
 \begin{displaymath}
 \E(X) = (P^{*})^{'}(1) ~.
-\end{displaymath}  
+\end{displaymath}
 Falls $X$ Dichte $f$ hat, ist
 \begin{displaymath}
 \E(X) = -\hat F^{'}(0) ~.
-\end{displaymath}  
-\item Falls $X$, $T$ unabh"angig sind, ist die Transformierte der Summe
+\end{displaymath}
+\item Falls $X$, $T$ unabhängig sind, ist die Transformierte der Summe
 das Produkt der Transformierten.
 \item Weiters sei $N_{t}$ ein \index{Poissonproze\3}Poissonproze\3 (d.h. eine Folge von
 Ereignissen, wobei die Zeit zwischen zwei Ereignissen nach $M_{\lambda}$
 verteilt ist. $N_{t}$ ist die Anzahl dieser Ereignisse im Intervall
-$[0,t])$. F"ur eine zuf"allige Zeit $T$ wollen wir die Anzahl $N_{T}$ von
+$[0,t])$. Für eine zufällige Zeit $T$ wollen wir die Anzahl $N_{T}$ von
 Ereignissen in $[0,T]$ bestimmen. Falls $T=t$ ist, ist diese Anzahl
 Poisson - verteilt mit Parameter $\lambda t$:
 \begin{displaymath}

documents/Warteschlangen/pantelis.tex

@@ -2,27 +2,27 @@
 \chapter{Einleitung}
 %-----------------------------------------------------------------------------
 Wir betrachten folgendes grundlegendes Modell:  Kunden kommen zu
-zuf"alligen Zeiten  $T_{1} < T_{2} < \dots <T_{n} < \dots$ im System an,
+zufälligen Zeiten  $T_{1} < T_{2} < \dots <T_{n} < \dots$ im System an,
 wobei $T_{n}$
 die \index{Ankunftszeit}Ankunftszeit des $n$-ten Kunden bezeichnet.
 
-Ein oder mehrere Bediener arbeiten die Schlange ab und f"ur jeden Kunden
-wird eine bestimmte \index{Bedienzeit}`Bedienzeit' ben"otigt. Es sei $x_{n}$ die Bedienzeit
-des $n$-ten Kunden. 
+Ein oder mehrere Bediener arbeiten die Schlange ab und für jeden Kunden
+wird eine bestimmte \index{Bedienzeit}`Bedienzeit' benötigt. Es sei $x_{n}$ die Bedienzeit
+des $n$-ten Kunden.
 Die Reihenfolge der Bedienung der Kunden wird durch
 die sogenannte \index{Disziplin}`Disziplin' der Warteschlange bestimmt.Wir nehmen meistens
-FCFS (First Come First Serve) an. Andere M"oglichkeiten w"aren LCFS (Last
-Come First Serve) oder `Priorit"aten'.
+FCFS (First Come First Serve) an. Andere Möglichkeiten wären LCFS (Last
+Come First Serve) oder `Prioritäten'.
 
 Folgende Annahmen werden getroffen:
 \begin{enumerate}
-\item Die $x_{n}$ sollen unabh"angig und identisch verteilt sein. 
-\item $t_{n}$ ist die $n$-te \index{Zwischenankunftszeit}Zwischenankunftszeit also $t_{n}= T_{n} - 
+\item Die $x_{n}$ sollen unabhängig und identisch verteilt sein.
+\item $t_{n}$ ist die $n$-te \index{Zwischenankunftszeit}Zwischenankunftszeit also $t_{n}= T_{n} -
 T_{n-1}$,  $T_{0}=0$ (Die Zeit zwischen der Ankunft des $n$-ten und des
-$(n-1)$-ten Kunden). Die $t_{n}$ sind auch unabh"angig und identisch
-verteilt. 
+$(n-1)$-ten Kunden). Die $t_{n}$ sind auch unabhängig und identisch
+verteilt.
 \end{enumerate}
-Wir verwenden folgende \index{Warteschlangen!Kurznotation}Kurznotation f"ur
+Wir verwenden folgende \index{Warteschlangen!Kurznotation}Kurznotation für
 Warteschlangen: $A/B/s$.
 
 $A \dots$ Verteilung der Zwischenankuftszeiten $t_{n}$, wobei $a$ die Dichte
@@ -31,19 +31,19 @@ $B \dots$ Verteilung der Bedienzeiten $x_{n}$ wobei $b$ die Dichte von
 $x_{n}$ ist. \\
 $s \dots$ Anzahl der Bediener \index{Server}(Server).
 
-Kurznotationen f"ur Verteilungen sind: \\
-$M$ $\dots$ \index{Verteilung!Exponential-}Exponentialverteilung (`memoryless'). \\ 
+Kurznotationen für Verteilungen sind: \\
+$M$ $\dots$ \index{Verteilung!Exponential-}Exponentialverteilung (`memoryless'). \\
 Dichtefunktion:
 \begin{displaymath}
 f(x) = \lambda e^{-\lambda x} \qquad x\geq 0.
 \end{displaymath}
-$E_{n}$ $\dots$ \index{Verteilung!Erlang-}Erlangverteilung: Die Summe von $n$ unabh"angigen
+$E_{n}$ $\dots$ \index{Verteilung!Erlang-}Erlangverteilung: Die Summe von $n$ unabhängigen
 Exponentialverteilungen.\\
  Dichtefunktion:
 \begin{displaymath}
 f(x)=\frac{\lambda^{n}x^{n-1}}{(n-1)!}e^{-\lambda x} \qquad x\geq 0.
-\end{displaymath} 
-$H$ $\dots$ \index{Verteilung!Hyperexponentelle}Hyperexponentielle Verteilung: Die Mischung von unabh"angigen
+\end{displaymath}
+$H$ $\dots$ \index{Verteilung!Hyperexponentelle}Hyperexponentielle Verteilung: Die Mischung von unabhängigen
 Exponentialverteilungen. Wir haben $p_{1} \dots p_{n}$,  $p_{i} \geq 0$,
  und
 $\sum_{i=1}^{n} p_{i} = 1$, $\lambda_{1} \dots \lambda_{n} \geq 0$. \\
@@ -52,55 +52,55 @@ Dichtefunktion:
 f(x)=\sum_{i=1}^{n} p_{i} \lambda_{i} e^{-\lambda_{i}x}.
 \end{displaymath}
 $D$ $\dots$ \index{Verteilung!Deterministische}Deterministisch: Ein fixer Wert wird angenommen. \\
-$G$ $\dots$ \index{Verteilung!Allgemeine}`General': Allgemeine Verteilung (alles, was nicht vorher erw"ahnt
-wurde). 
+$G$ $\dots$ \index{Verteilung!Allgemeine}`General': Allgemeine Verteilung (alles, was nicht vorher erwähnt
+wurde).
 
-Die Sonderstellung der Exponentialverteilung ist begr"undet durch ihre
-Ged"achtnislosigkeit. Falls n"amlich etwa eine Wartezeit
+Die Sonderstellung der Exponentialverteilung ist begründet durch ihre
+Gedächtnislosigkeit. Falls nämlich etwa eine Wartezeit
 exponentialverteilt ist, und wir schon t Zeiteinheiten gewartet haben, so
 ist die Verteilung der restlichen Wartezeit gegeben durch
 \begin{eqnarray*}
 \PP(\mbox{restliche Wartezeit} \geq x \mid \mbox{schon $t$
 gewartet}) = \\
-= \PP(T \geq t+x \mid T \geq t) = \frac{\PP(T \geq t+x)}{\PP(T\geq t)} ~.   
-\end{eqnarray*}  
+= \PP(T \geq t+x \mid T \geq t) = \frac{\PP(T \geq t+x)}{\PP(T\geq t)} ~.
+\end{eqnarray*}
 Angenommen $T$  sei exponentialverteilt $\Rightarrow$ $\PP(T \geq t) =
 e^{-\lambda t}$  $\Rightarrow$
 \begin{displaymath}
 \frac{\PP(T \geq t+x)}{\PP(T \geq t)} = \frac{e^{-\lambda
 (t+x)}}{e^{-\lambda
 t}}= e^{-\lambda x},
-\end{displaymath} 
-also unabh"angig davon, wie lange wir schon vorher gewartet haben.
+\end{displaymath}
+also unabhängig davon, wie lange wir schon vorher gewartet haben.
 
-Es gibt abgeleitete Gr"o\3en, die das Verhalten der Warteschlange
+Es gibt abgeleitete Grö\3en, die das Verhalten der Warteschlange
 beschreiben wie:
 \begin{enumerate}
 \item $w_{n}$ $\dots$ \index{Wartezeit}Wartezeit des $n$-ten Kunden.
 \item $z_{n} = w_{n} + x_{n} \dots$ Zeit, die der $n$-te Kunde im System
-verbringt. 
+verbringt.
 \item $N_{t}$ $\dots$ Anzahl der Kunden, die zum Zeitpunkt $t$ im System
 sind ($=$ wartende + eventuell die, die gerade bedient werden).
 \end{enumerate}
 Es gibt einige Fragen, die uns interessieren:
 \begin{enumerate}
 \item Die Verteilungen von $w_{n}$, $z_{n}$, $N_{t}$.
-\item Gibt es Grenzverteilungen f"ur $n \rightarrow \infty$ bzw. $t
+\item Gibt es Grenzverteilungen für $n \rightarrow \infty$ bzw. $t
 \rightarrow \infty$ (d.h. pendelt sich das Verhalten der Schlange auf
-einen station"aren Zustand ein?) und Bestimmung der Grenzverteilungen.
+einen stationären Zustand ein?) und Bestimmung der Grenzverteilungen.
 \item Erwartungswerte der Grenzverteilungen in 2.
-\item Absch"atzungen f"ur 3.
+\item Abschätzungen für 3.
 \end{enumerate}
 Die Aufgaben sind hier in abnehmender Schwierigkeit geordnet. Leider sind
-die genauen Verteilungen 1. nicht leicht zu bestimmen, also beschr"anken
+die genauen Verteilungen 1. nicht leicht zu bestimmen, also beschränken
 wir uns meist auf 2. ; im ganz allgemeinen Fall wird es sogar notwendig
-sein, nur Absch"atzungen zu betrachten. 
+sein, nur Abschätzungen zu betrachten.
 %-----------------------------------------------------------------------------
 \chapter{Erste Resultate}
-\section{Eine Rekursion f"ur die Wartezeit}
+\section{Eine Rekursion für die Wartezeit}
 %----------------------------------------------------------------------------
 Wir wollen nun die Wartezeit des $(n+1)$-ten Kunden durch die des $n$-ten
-Kunden ausdrucken. Dazu ist 
+Kunden ausdrucken. Dazu ist
 \begin{enumerate}
 \item $T_{n} \ldots $ die Ankunftszeit des $n$-ten Kunden.
 \item $T_{n} + w_{n} \ldots$ die Zeit, wenn der $n$-te Kunde bedient wird.
@@ -112,13 +112,13 @@ Kunden.
 Falls $T_{n+1} < T_{n} + w_{n} + x_{n}$,
 dann ist $w_{n+1} = T_{n+1} + w_{n} + x_{n} - T_{n+1} = w_{n} + x_{n} -
 t_{n+1}$. Falls  $T_{n+1} \geq T_{n} + w_{n} + x_{n}$ ist $w_{n+1} = 0$.
-Also 
+Also
 \begin{displaymath}
-w_{n+1}= \max (w_{n}+x_{n}-t_{n+1}, 0) =: (w_{n} + x_{n} - t_{n+1})_{+} ~. 
+w_{n+1}= \max (w_{n}+x_{n}-t_{n+1}, 0) =: (w_{n} + x_{n} - t_{n+1})_{+} ~.
 \end{displaymath}
-Sei  $u_{n} = x_{n} - t_{n+1}.$ Die $u_{i}$ sind unabh"angig und
+Sei  $u_{n} = x_{n} - t_{n+1}.$ Die $u_{i}$ sind unabhängig und
 identisch verteilt.
-\begin{eqnarray*}   
+\begin{eqnarray*}
 \Rightarrow w_{n} &=& \max (w_{n-1}+ u_{n-1}, 0) = 0 \\
 \Rightarrow w_{n} &=& \max (0, u_{n-1} + \max (w_{n-2} + u_{n-2}, 0)) = \\
  &=& \max (0, u_{n-1}, u_{n-1} + u_{n-2} + w_{n-2}) = \dots\\
@@ -132,22 +132,22 @@ Also ist die Verteilung von $w_{n}$ dieselbe wie die  von  $\tilde w_{n}$ mit
 \end{displaymath}
 Offensichtlich ist $\tilde w_{n}$ eine monoton nichtfallende Folge, also
 existiert
-\[ \tilde w = \lim_{n \rightarrow \infty} w_{n}. \] 
+\[ \tilde w = \lim_{n \rightarrow \infty} w_{n}. \]
 Falls $\E u > 0$, dann geht $u_{1}+ \cdots + u_{n-1}$ $\rightarrow
 \infty$, also auch  $\tilde w$. Falls $\E u < 0$, dann geht $u_{1}+ \cdots
-+ u_{n-1}$ $\rightarrow -\infty$, also ist f"ur $n>n_{0}$ $u_{1}+ \cdots +
++ u_{n-1}$ $\rightarrow -\infty$, also ist für $n>n_{0}$ $u_{1}+ \cdots +
 u_{n-1} <0 $, was bedeutet da\3 nur die ersten Glieder in der Definition
 von  $\tilde w_{n}$ wichtig sind; also ist $\tilde w$ endlich. Falls $\E
-u = 0$, ist k"onnen wir den einfachen Fall $D/D/1$ betrachten. In diesem
-Fall ist $w_{n}=0$, also ist das Verhalten station"ar. Leider ist das der
+u = 0$, ist können wir den einfachen Fall $D/D/1$ betrachten. In diesem
+Fall ist $w_{n}=0$, also ist das Verhalten stationär. Leider ist das der
 einzige Fall; sobald $A$ oder $B$ nicht degenerierte Verteilungen haben,
 kann $\tilde w_{n}$ nicht gegen eine endliche Zufallsvariable
-konvergieren, weil etwa nach dem zentralen Grenzwertsatz f"ur $n$ gro\3
+konvergieren, weil etwa nach dem zentralen Grenzwertsatz für $n$ gro\3
 genug
 \begin{displaymath}
 \PP(\tilde w_{n} > a \sqrt{n.{\bf Var}(u)}) \geq 1- \Phi(a)- \epsilon > 0 ~.
-\end{displaymath}  
-Somit ist f"ur jedes $n$
+\end{displaymath}
+Somit ist für jedes $n$
 \begin{displaymath}
 \PP(\tilde w > a \sqrt{n.{\bf Var}(u)}) \geq 1- \Phi(a)- \epsilon ~,
 \end{displaymath}
@@ -155,7 +155,7 @@ also
 \begin{displaymath}
 \PP(\tilde w = \infty)  \geq  1- \Phi(a)- \epsilon ~.
 \end{displaymath}
-Es bleibt uns also f"ur station"ares Verhalten (au\3er im Trivialfall \\
+Es bleibt uns also für stationäres Verhalten (au\3er im Trivialfall \\
 $D/D/1$) die Bedingung
 \begin{displaymath}
 \E (u) < 0 \Leftrightarrow \E (x) < \E (t) \Leftrightarrow \rho=
@@ -167,26 +167,26 @@ sind dies die Anzahl von Kunden, die in einem langen Zeitraum
 durchschnittlich pro Zeiteinheit ankommen bzw. bedient werden, falls
 ununterbrochen
 bedient wird. Mit diesen Bezeichnungen ist $\rho = \frac{\lambda}{\mu}$ \index{Auslastung}(Auslastung)
-und die Bedingung f"ur station"ares Verhalten wird zu $ \lambda < \mu$ bzw.\ 
+und die Bedingung für stationäres Verhalten wird zu $ \lambda < \mu$ bzw.\
 $\rho<1$.
 %--------------------------------------------------------------------------
 \section{Der Satz von Little}
 %---------------------------------------------------------------------------
-Wir nehmen jetzt an, da\3 in unserer Schlange station"ares Verhalten
+Wir nehmen jetzt an, da\3 in unserer Schlange stationäres Verhalten
 herrscht; wir wollen eine Beziehung zwischen der Ankuftsrate, der mittleren
 Anzahl der Kunden im System und der mittleren Aufenthaltsdauer finden.
-Dazu nehmen wir an, da\3 wir jeden Kunden f"ur die Zeit, die er im System
-verbringt, bezahlen m"ussen. Die Summe, die insgesamt zu bezahlen ist,
+Dazu nehmen wir an, da\3 wir jeden Kunden für die Zeit, die er im System
+verbringt, bezahlen müssen. Die Summe, die insgesamt zu bezahlen ist,
 berechnet sich als $T \E (N)$, da zu jedem Zeitpunkt durchschnittlich $\E
 (N)$
 Kunden anwesend sind. Andererseits bekommt jeder Kunde durchschnittlich
 $\E (z)$ bezahlt. In der Zeit $T$ kommen $\lambda T$ Kunden an, also ist
 die
-zu bezahlende Summe auch gleich $\lambda T \E (z)$. 
+zu bezahlende Summe auch gleich $\lambda T \E (z)$.
 
-Beide Gleichungen sind nicht vollst"andig exakt, weil in beiden F"allen
-noch zuf"allige Schwankungen dazukommen, und weil bei der zweiten
-Gleichung auch nicht ber"ucksichtigt wurde, da\3 einige Kunden noch nach
+Beide Gleichungen sind nicht vollständig exakt, weil in beiden Fällen
+noch zufällige Schwankungen dazukommen, und weil bei der zweiten
+Gleichung auch nicht berücksichtigt wurde, da\3 einige Kunden noch nach
 $T$ bleiben. Diese Fehler sind aber von kleineren Ordnung als $T$. Wir
 haben also
 \begin{displaymath}
@@ -202,7 +202,7 @@ Mittlere Anzahl der Kunden, die gerade bedient werden =
 \begin{displaymath}
 \lambda  \E (x) = \frac{\lambda}{\mu} = \rho ~.
 \end{displaymath}
-Da aber h"ochstens 1 Kunde bedient wird, ist das gleich der
+Da aber höchstens 1 Kunde bedient wird, ist das gleich der
 Wahrscheinlichkeit, da\3 der Server besetzt ist, oder der Auslastung des
 Servers.
 %---------------------------------------------------------------------------
@@ -210,8 +210,8 @@ Servers.
 \section{Die Schlange $M/M/1$}
 %---------------------------------------------------------------------------
 Im Folgenden gehen wir von der `FCFS'-Disziplin aus.
-Um die zuk"unftige Entwicklung einer Warteschlange bestimmen zu k"onnen,
-ben"otigen wir 3 Angaben zur Zeit $t$.
+Um die zukünftige Entwicklung einer Warteschlange bestimmen zu können,
+benötigen wir 3 Angaben zur Zeit $t$.
 \begin{enumerate}
 \item Die Anzahl $N_{t}$ der anwesenden Kunden.
 \item Die Zeit, die seit der letzten Ankunft vergangen ist.
@@ -219,16 +219,16 @@ ben"otigen wir 3 Angaben zur Zeit $t$.
 ist (falls dieser noch andauert).
 \end{enumerate}
 Die letzten beiden Angaben sind notwendig, damit wir die Verteilung der
-verbleibenden Zeit bis zur n"achsten Ankunft bzw. bis zum Ende des
-Bedienvorganges bestimmen k"onnen. F"ur den Fall $M/M/1$ sind diese
+verbleibenden Zeit bis zur nächsten Ankunft bzw. bis zum Ende des
+Bedienvorganges bestimmen können. Für den Fall $M/M/1$ sind diese
 Angaben nicht notwendig, weil diese Verteilungen wegen der
-Ged"achtnislosigkeit der Exponentialverteilung nicht von der schon
-verstrichenen Zeit abh"angen. Deshalb gen"ugt uns $N_{t}$ zur Beschreibung
+Gedächtnislosigkeit der Exponentialverteilung nicht von der schon
+verstrichenen Zeit abhängen. Deshalb genügt uns $N_{t}$ zur Beschreibung
 des Systems.
 
 Wir betrachten jetzt die Anzahl der Kunden zur Zeit $t+ \Delta t$, wenn
 die Anzahl zur Zeit t bekannt ist. Die Anzahl kann sich in folgender Weise
-"andern:
+ändern:
 \begin{enumerate}
 \item Es kann gar nichts geschehen.
 \item Es kann genau ein Kunde aufkommen.
@@ -238,58 +238,58 @@ die Anzahl zur Zeit t bekannt ist. Die Anzahl kann sich in folgender Weise
 Die Wahrscheinlichkeit, da\3 mindestens ein Kunde im Intervall $(t, t+ \Delta t)$
 ankommt, ist $1-e^{-\lambda \Delta t} = \lambda \Delta t + o (\Delta t)$.
 Ebenso ist die Wahrscheinlichkeit, da\3 ein Kunde fertig wird $\mu \Delta
-t + o(\Delta t)$. Die Wahrscheinlichkeit f"ur 4. ist, wie man leicht
-einsieht, $o(\Delta t)$. Das gibt f"ur 1. die Wahrscheinlichkeit $1 -
+t + o(\Delta t)$. Die Wahrscheinlichkeit für 4. ist, wie man leicht
+einsieht, $o(\Delta t)$. Das gibt für 1. die Wahrscheinlichkeit $1 -
 (\lambda + \mu) \Delta t + o(\Delta t)$. Falls die Schlange leer ist,
-fallen nat"urlich die Summanden mit $\mu$ weg (es kann ja niemand gehen).
-Somit gilt f"ur
+fallen natürlich die Summanden mit $\mu$ weg (es kann ja niemand gehen).
+Somit gilt für
 \begin{eqnarray*}
 p_{n}(t) &=& \PP (N_{t} = n) \\
 p_{n}(t+ \Delta t) &=& \mu \Delta t . p_{n+1}(t) + (1 - (\lambda +
 \mu) \Delta t) p_{n}(t) + \\
  & &+ \lambda \Delta t p_{n-1}(t) + o(\Delta t)
-\qquad [n \geq 1] \\ 
+\qquad [n \geq 1] \\
 p_{0}(t + \Delta t) &=& \mu \Delta t . p_{1}(t) + (1 - \lambda \Delta t)
 p_{0}(t) + o(\Delta t) ~.
 \end{eqnarray*}
 Wenn man $p_{n}(t)$ auf die linke Seite bringt und durch $\Delta t$
-dividiert und $\Delta t \rightarrow 0$ l"a\3t, ergibt sich
+dividiert und $\Delta t \rightarrow 0$ lä\3t, ergibt sich
 \begin{eqnarray*}
 p'_{n}(t) &=& \mu p_{n+1}(t)-(\lambda + \mu) p_{n}(t)+ \lambda p_{n-1}(t)
 \\
 p'_{0}(t) &=& \mu p_{1}(t)- \lambda p_{0}(t) ~.
 \end{eqnarray*}
-Diese Gleichungen lassen sich etwa mit Hilfe von Transformationen l"osen,
-aber das Ergebnis ist nicht besonders sch"on. Wir beschr"anken uns daher
-jetzt und in der Folge auf die Bestimmung der station"aren L"osung. Diese
-ist nat"urlich dadurch gekennzeichnet, da\3 $p_{n}(t)$ nicht von der Zeit
-$t$ abh"angt, also $p'_{n}(t)=0$. Das ergibt die Gleichungen
+Diese Gleichungen lassen sich etwa mit Hilfe von Transformationen lösen,
+aber das Ergebnis ist nicht besonders schön. Wir beschränken uns daher
+jetzt und in der Folge auf die Bestimmung der stationären Lösung. Diese
+ist natürlich dadurch gekennzeichnet, da\3 $p_{n}(t)$ nicht von der Zeit
+$t$ abhängt, also $p'_{n}(t)=0$. Das ergibt die Gleichungen
 \begin{eqnarray*}
 \mu p_{n+1}-(\lambda +\mu) p_{n} + \lambda p_{n-1} &=& 0 \\
 \mu p_{1} - \lambda p_{0} &=& 0 ~.
-\end{eqnarray*}  
+\end{eqnarray*}
 Durch Induktion erhalten wir daraus
 \begin{displaymath}
-\mu p_{n+1} - \lambda p_{n} = 0 ~, 
+\mu p_{n+1} - \lambda p_{n} = 0 ~,
 \end{displaymath}
 oder
 \begin{displaymath}
-p_{n+1} = \frac{\lambda}{\mu} p_{n} = \rho p_{n} ~. 
+p_{n+1} = \frac{\lambda}{\mu} p_{n} = \rho p_{n} ~.
 \end{displaymath}
 Also ist
 \begin{displaymath}
-p_{n} = \rho^{n}p_{0} 
+p_{n} = \rho^{n}p_{0}
 \end{displaymath}
 und wegen $\sum_{n=0}^{\infty} p_{n} = 1$
-\begin{displaymath} 
-p_{0} = 1- \rho  
+\begin{displaymath}
+p_{0} = 1- \rho
 \end{displaymath}
 und
 \begin{displaymath}
 p_{n} = \rho^{n} (1- \rho) ~.
 \end{displaymath}
 Die Anzahl der Kunden im System ist also geometrisch verteilt. Aus dieser
-Verteilung k"onnen wir jetzt die Verteilungen von $w$ und $z$ bestimmen.
+Verteilung können wir jetzt die Verteilungen von $w$ und $z$ bestimmen.
 Die Zeit im System $z$, falls bei der Ankunft $n$ Personen anwesend sind,
 ist die Summe von $(n+1)$ exponentialverteilten Zufallsvariablen (die
 Bedienzeiten der $n$ anwesenden + die der neu hinzugekommenen), hat also
@@ -314,16 +314,16 @@ Exponentialverteilung mit Parameter $\mu - \lambda$.
 %----------------------------------------------------------------------------
 \section{Das System $M/G/1$}
 %------------------------------------------------------------------------------
-Jetzt ben"otigen wir zus"atzlich zu $N_{t}$ die Information "uber die
+Jetzt benötigen wir zusätzlich zu $N_{t}$ die Information über die
 schon verbrauchte Bedienzeit. Die einfachste Methode besteht darin, das
 System nur in solchen Zeitpunkten zu betrachten, an denen die verbrauchte
-Bedienzeit bekannt ist (und zwar = 0), n"amlich die Zeitpunkte $T_{n}$, in
-denen der n-te Kunde das System verl"a\3t. Es sei $N_{n}$ die Anzahl der
+Bedienzeit bekannt ist (und zwar = 0), nämlich die Zeitpunkte $T_{n}$, in
+denen der n-te Kunde das System verlä\3t. Es sei $N_{n}$ die Anzahl der
 Kunden, die dann im System verbleiben. Es gilt: Falls $N_{n}=0$, so mu\3
 zuerst gewartet werden, bis ein neuer Kunde ankommt; wenn dieser Kunde
-geht, sind noch genau die Kunden da, die w"ahrend seiner Bedienzeit
+geht, sind noch genau die Kunden da, die während seiner Bedienzeit
 angekommen sind; bezeichnet man $M_{n}$ als die Anzahl der Kunden, die
-w"ahrend der Bedienzeit des $n$-ten Kunden ankommen, so gilt
+während der Bedienzeit des $n$-ten Kunden ankommen, so gilt
 \begin{displaymath}
 N_{n+1} = M_{n} ~.
 \end{displaymath}
@@ -335,8 +335,8 @@ Zusammengefa\3t ergibt sich:
 \begin{displaymath}
 N_{n+1} = (N_{n} - 1)_{+} + M_{n} ~.
 \end{displaymath}
-Wir suchen eine station"are L"osung; es sei also $\PP (N_{n}=k)=p_{k}$
-unabh"angig von $n$. Die erzeugende Funktion von $N_{n}$ ist
+Wir suchen eine stationäre Lösung; es sei also $\PP (N_{n}=k)=p_{k}$
+unabhängig von $n$. Die erzeugende Funktion von $N_{n}$ ist
 \begin{displaymath}
 P^{*}(z) = \sum_{}^{}p_{k}z^{k} ~.
 \end{displaymath}
@@ -345,9 +345,9 @@ Die erzeugende Funktion von $(N_{n}-1)_{+}=$
 = p_{0} + \sum_{k=1}^{\infty} p_{k} z^{k-1} &=& p_{0}+ \frac{\hat P
 (z) - p_{0}}{z} = \\
  &=& \frac{\hat P(z) - p_{0}(1-z)}{z} ~.
-\end{eqnarray*} 
+\end{eqnarray*}
 Mithilfe der Transformationen (Anhang A) ergibt sich die erzeugende Funktion von $M_{n}$
-(die Ank"unfte bilden ja einen Poisson - Proze\3) als 
+(die Ankünfte bilden ja einen Poisson - Proze\3) als
 \begin{displaymath}
 \tilde B (\lambda(1 - z)) ~,
 \end{displaymath}
@@ -368,8 +368,8 @@ P^{*}(z) = \frac{(1- \rho)(1-z) \tilde B ( \lambda (1-z))}{ \tilde B (
 \lambda(1-z)) - z} ~,
 \end{displaymath}
 eine sogenannte \index{Pollaczek - Khinchin Formel}Pollaczek - Khinchin Formel. Die Anzahl der Kunden, die der $n$-te
-Kunde zur"uckl"a\3t, ist genau die Anzahl der Kunden, die ankommen
-w"ahrend er im System ist (d.h. w"ahrend $z_{n}$), d.h. f"ur die
+Kunde zurücklä\3t, ist genau die Anzahl der Kunden, die ankommen
+während er im System ist (d.h. während $z_{n}$), d.h. für die
 $L$-Transformierte $ \tilde Z (t)$ der Verteilung von $z$ gilt:
 \begin{displaymath}
 \tilde Z (\lambda(1-z)) = P^{*}(z) ~,
@@ -378,18 +378,18 @@ also
 \begin{displaymath}
 \tilde Z (t) = \frac{(1- \rho)t \tilde B (t)}{t + \lambda \tilde B (t) -
 \lambda} ~.
-\end{displaymath} 
-Auch das nennt man eine Pollaczek - Khinchin Formel. F"ur die Wartezeit
+\end{displaymath}
+Auch das nennt man eine Pollaczek - Khinchin Formel. Für die Wartezeit
 gilt
 (wegen $z_{n} = w_{n} + x_{n}$)
 \begin{displaymath}
-\tilde Z (t) = \tilde W (t) \tilde B(t) ~, 
-\end{displaymath} 
+\tilde Z (t) = \tilde W (t) \tilde B(t) ~,
+\end{displaymath}
 also
 \begin{displaymath}
 \tilde W (t) = \frac{(1- \rho)t}{t + \lambda \tilde B (t) - \lambda} ~.
 \end{displaymath}
-F"ur die Erwartungswerte ergibt sich:
+Für die Erwartungswerte ergibt sich:
 \begin{eqnarray*}
 \E (N) &=& \rho + \frac{\lambda^{2} \E x^{2}}{2(1- \rho)} \\
 \E (Z) &=& \frac{1}{\mu} + \frac{\lambda \E x^{2}}{2(1 - \rho)} \\
@@ -402,49 +402,49 @@ Jetzt betrachten wir analog zum vorigen Kapitel das System zu den Zeiten
 $T_{n}$, wo der $n$-te Kunde ankommt. $N_{n}$ sei die Anzahl der
 anwesenden Kunden, die der $n$-te Kunde vorfindet.
 \begin{displaymath}
-N_{n+1} = N_{n}+1-\mbox{Anzahl der Kunden, die w"ahrend $t_{n+1}$ gehen.}
+N_{n+1} = N_{n}+1-\mbox{Anzahl der Kunden, die während $t_{n+1}$ gehen.}
 \end{displaymath}
-F"ur $n>0$ gilt, wenn wir $p_{k}= \PP (N_{n}=k)$ (station"ar!) setzen:
+Für $n>0$ gilt, wenn wir $p_{k}= \PP (N_{n}=k)$ (stationär!) setzen:
 \begin{displaymath}
 p_{k} = \sum_{j=k-1}^{\infty} p_{j} q_{j+1-k} \qquad [k \geq 1] ~,
 \end{displaymath}
 wobei
 \begin{displaymath}
-q_{s} = \PP (\mbox{ $s$ Kunden gehen w" ahrend
-$t_{n+1}$)} = 
+q_{s} = \PP (\mbox{ $s$ Kunden gehen während
+$t_{n+1}$)} =
 \end{displaymath}
 \begin{eqnarray*}
-= \PP (\mbox{w"ahrend $t_{n+1}$ treten genau $s$ Ereignisse eines Poissons 
+= \PP (\mbox{während $t_{n+1}$ treten genau $s$ Ereignisse eines Poissons
 -} \\
-\mbox{Prozesses mit Rate $\mu$ auf)} ~. & & 
-\end{eqnarray*} 
-Die Gleichung f"ur $k=0$ ist "uberfl"ussig, da sie aus den Gleichungen
-f"ur $k>0$ und der Beziehung $\sum_{}^{} p_{k}=1$ gefolgert werden kann.
-Man kann zeigen, da\3 diese Gleichung eine eindeutige L"osung besitzt.
-Falls nun $(p_{k})$ eine L"osung ist, ist auch 
+\mbox{Prozesses mit Rate $\mu$ auf)} ~. & &
+\end{eqnarray*}
+Die Gleichung für $k=0$ ist überflüssig, da sie aus den Gleichungen
+für $k>0$ und der Beziehung $\sum_{}^{} p_{k}=1$ gefolgert werden kann.
+Man kann zeigen, da\3 diese Gleichung eine eindeutige Lösung besitzt.
+Falls nun $(p_{k})$ eine Lösung ist, ist auch
 \begin{displaymath}
 \tilde p_{k} = \frac{p_{k+1}}{1-p_{0}}
 \end{displaymath}
-eine L"osung. Es mu\3 also
+eine Lösung. Es mu\3 also
 \begin{displaymath}
 \tilde p_{k} = p_{k} ~,
 \end{displaymath}
 somit
 \begin{displaymath}
-p_{k+1} = p_{k}(1-p_{0}) 
+p_{k+1} = p_{k}(1-p_{0})
 \end{displaymath}
 und
 \begin{displaymath}
-p_{k} = p_{0}(1-p_{0})^{k} = 
+p_{k} = p_{0}(1-p_{0})^{k} =
 \sigma^{k}(1- \sigma) \qquad [ \sigma := 1 - p_{0}] ~.
-\end{displaymath}  
-Setzt man das in die Gleichung f"ur $k=1$ ein, ergibt sich
+\end{displaymath}
+Setzt man das in die Gleichung für $k=1$ ein, ergibt sich
 \begin{displaymath}
 \sigma = \sum_{j=0}^{\infty} \sigma^{j} q_{j} = \tilde A (\mu(1-\sigma))
 ~.
 \end{displaymath}
-Falls $\rho < 1$, gibt es genau eine L"osung $\sigma \in (0,1)$. Dann ist
-$N$ geometrisch verteilt mit Parameter $\sigma$. Wie f"ur die Schlange
+Falls $\rho < 1$, gibt es genau eine Lösung $\sigma \in (0,1)$. Dann ist
+$N$ geometrisch verteilt mit Parameter $\sigma$. Wie für die Schlange
 $M/M/1$ ergibt sich die Verteilung der Zeit $z$ im System als
 Exponentialverteilt mit Parameter $\mu(1- \sigma)$; die Wartezeit $w$ hat
 $\PP (w=0)= 1 - \sigma$ und die bedingte Verteilung von $w$ unter $[w>0]$
@@ -455,19 +455,19 @@ ist wieder dieselbe Exponentialverteilung wie die von $z$.
 Hier sind beide Verteilungen - die der Zwischenankunftszeiten und die der
 Bedienzeiten - allgemeine Verteilungen. Der Trick der vorigen beiden
 Kapitel funktioniert jetzt nicht mehr gut. Um beide Zeiten zu
-kontrollieren, m"u\3ten wir das System nun zu den Zeitpunkten betrachten,
+kontrollieren, mü\3ten wir das System nun zu den Zeitpunkten betrachten,
 in denen ein Kunde das leere System betritt; diese Zeitpunkte sind aber zu
-selten, um vern"uftig damit zu arbeiten. Statt dessen gehen wir von der
-Rekursion f"ur die Wartezeiten aus:
+selten, um vernüftig damit zu arbeiten. Statt dessen gehen wir von der
+Rekursion für die Wartezeiten aus:
 \begin{displaymath}
 w_{n+1} = (w_{n} + u_{n})_{+} ~.
 \end{displaymath}
-Das bedeutet f"ur die Verteilungsfunktion $W(.)$ von $w$
+Das bedeutet für die Verteilungsfunktion $W(.)$ von $w$
 \begin{displaymath}
 W(x) = \PP (w_{n+1} \leq x) = \left\{
 \begin{array}{lc}
 \PP (w_{n} + u_{n} \leq x) & x \geq 0 \\
-0 & x < 0 
+0 & x < 0
 \end{array} \right. ~.
 \end{displaymath}
 Die Wahrscheinlichkeit $\PP (w_{n}+ u_{n} \leq x)$ berechnet sich als
@@ -475,8 +475,8 @@ Die Wahrscheinlichkeit $\PP (w_{n}+ u_{n} \leq x)$ berechnet sich als
 \PP (w_{n} + u_{n} \leq x) = \int_{- \infty}^{\infty} W(x-u) c(u) du ~,
 \end{displaymath}
 wobei $c(u)$ die Dichte von $u_{n} = x_{n} - t_{n+1}$ ist. Falls in der
-Gleichung f"ur $W(x)$ die Fallunterscheidung nicht auftreten w"urde, w"are
-sie leicht durch Transformationen zu l"osen. Wir erreichen dies durch
+Gleichung für $W(x)$ die Fallunterscheidung nicht auftreten würde, wäre
+sie leicht durch Transformationen zu lösen. Wir erreichen dies durch
 einen Kunstgriff: Wir setzen
 \begin{displaymath}
 Y(x) = \left\{
@@ -485,7 +485,7 @@ Y(x) = \left\{
 0 &  x \geq 0
 \end{array} \right. ~.
 \end{displaymath}
-Dann ist 
+Dann ist
 \begin{displaymath}
 W(x) + Y(x) = \int_{-\infty}^{\infty} W(x-u) c(u) du ~.
 \end{displaymath}
@@ -495,29 +495,29 @@ da\3
 \begin{displaymath}
 \Phi (t) = \frac{1}{t} \tilde W(t)
 \end{displaymath}
-gilt. F"ur die Transformationen ergeben sich die Formeln
+gilt. Für die Transformationen ergeben sich die Formeln
 \begin{displaymath}
 \Phi (t) + \Phi^{-}(t) = \Phi (t) \tilde C (t) = \Phi (t) \tilde A (-t)
-\tilde B (t) ~,  
+\tilde B (t) ~,
 \end{displaymath}
 oder
 \begin{displaymath}
 \frac{\Phi^{-}(t)}{\Phi (t)} = \tilde A (-t)  \tilde B (t) -1 ~.
 \end{displaymath}
-Wir nehmen an, da\3 $\tilde A(t)$ f"ur $t \geq -D$ existiert. (Das ist
-gleichbedeutend damit, da\3 $\PP (t_{n} \geq x)$ wie $e^{-Dx}$ f"allt).
-Dann existiert $\tilde A (-t) \tilde B (t) - 1$ f"ur $0 \leq t \leq D$;
-Ferner existiert $\Phi (t)$ f"ur $t >0$ und $t \Phi (t)$ ist in $\Re (t)
-\geq 0$ regul"ar und beschr"ankt; $\Phi^{-}(t)$ existiert f"ur $t \leq D$
-und in $\Re (t) < D$ ist $t\Phi^{-}(t)$ regul"ar und beschr"ankt. Wir
+Wir nehmen an, da\3 $\tilde A(t)$ für $t \geq -D$ existiert. (Das ist
+gleichbedeutend damit, da\3 $\PP (t_{n} \geq x)$ wie $e^{-Dx}$ fällt).
+Dann existiert $\tilde A (-t) \tilde B (t) - 1$ für $0 \leq t \leq D$;
+Ferner existiert $\Phi (t)$ für $t >0$ und $t \Phi (t)$ ist in $\Re (t)
+\geq 0$ regulär und beschränkt; $\Phi^{-}(t)$ existiert für $t \leq D$
+und in $\Re (t) < D$ ist $t\Phi^{-}(t)$ regulär und beschränkt. Wir
 versuchen 2 Funktionen $\Psi^{+}$ und $\Psi^{-}$ zu finden, die folgendes
-erf"ullen:
+erfüllen:
 \begin{enumerate}
 \item $\frac{\Psi^{+}(t)}{\Psi^{-}(t)} = \tilde A(-t) \tilde B(t) -1$ ~ ~\index{Spektralzerlegung}(Spektralzerlegung).
-\item $\frac{\Psi^{+}(t)}{t}$ ist f"ur $\Re(t)>0$ regul"ar und beschr"ankt
+\item $\frac{\Psi^{+}(t)}{t}$ ist für $\Re(t)>0$ regulär und beschränkt
 und hat dort keine Nullstellen.
-\item $\frac{\Psi^{-}(t)}{t}$ ist f"ur $\Re (t) < D$ regul"ar und
-beschr"ankt und hat dort keine Nullstellen.
+\item $\frac{\Psi^{-}(t)}{t}$ ist für $\Re (t) < D$ regulär und
+beschränkt und hat dort keine Nullstellen.
 \end{enumerate}
 Dann gilt
 \begin{displaymath}
@@ -528,9 +528,9 @@ oder
 \begin{displaymath}
 \Phi^{-}(t) \Psi^{-}(t) = \Psi^{+}(t) \Phi (t) \qquad 0< \Re (t) < D ~.
 \end{displaymath}
-Die linke Seite ist f"ur $\Re (t) < D$ regul"ar und beschr"ankt, die
-rechte Seite f"ur $\Re (t) > 0$. Es ist dadurch also eine Funktion
-bestimmt, die in der ganzen Ebene regul"ar und beschr"ankt ist. Nach dem
+Die linke Seite ist für $\Re (t) < D$ regulär und beschränkt, die
+rechte Seite für $\Re (t) > 0$. Es ist dadurch also eine Funktion
+bestimmt, die in der ganzen Ebene regulär und beschränkt ist. Nach dem
 Satz von \index{Satz!LIOUVILLE}LIOUVILLE mu\3 eine solche Funktion konstant sein. Es gilt also
 \begin{displaymath}
 \Phi (t) = \frac{K}{\Psi^{+}(t)} ~,
@@ -544,13 +544,13 @@ Es bleibt die Konstante $K$ zu bestimmen. Sie folgt wieder aus
 \tilde W (0) = 1 \qquad \mbox{zu} \qquad
 K = \frac{\Phi^{+}(t)}{t} \Bigg \bracevert_{t=0} = (\Phi^{+})^{'}(0) ~.
 \end{displaymath}
-{\bf Beispiel: $M/M/1$} 
+{\bf Beispiel: $M/M/1$}
 \begin{displaymath}
 A = M_{\lambda}: \quad \tilde A(t) = \frac{\lambda}{\lambda + t}, \quad
 B = M_{\mu}: \quad \tilde B(t) =\frac{\mu}{\mu +t}
 \end{displaymath}
 \begin{eqnarray*}
-\frac{\Psi^{+}(t)}{\Psi^{-}(t)} &=& \tilde A(-t) \tilde B(t)-1 = 
+\frac{\Psi^{+}(t)}{\Psi^{-}(t)} &=& \tilde A(-t) \tilde B(t)-1 =
 \frac{\lambda \mu}{(\lambda - t)(\mu + t)} - 1 = \\
  &=& \frac{t(\mu - \lambda + t)}{(\lambda - t)(\mu + t)}. \\
 \Psi^{+}(t) &=& \frac{t(\mu -\lambda + t)}{(t + \mu} \\
@@ -560,6 +560,6 @@ B = M_{\mu}: \quad \tilde B(t) =\frac{\mu}{\mu +t}
 \frac{1}{t} - \frac{\lambda}{\mu(\mu - \lambda + t)} \\
 \Psi^{+'}(0) &=& \frac{\Psi^{+}(t)}{t} \Bigg \bracevert_{t=0} =\frac{\mu -
 \lambda}{\mu} \\
-F(x) &=& 1 - \rho e^{-(\mu - \lambda)x} \quad \mbox{f"ur} \quad x \geq 0
+F(x) &=& 1 - \rho e^{-(\mu - \lambda)x} \quad \mbox{für} \quad x \geq 0
 \end{eqnarray*}
 also die Verteilung der Wartezeit aus dem ersten Kapitel.