|
|
@@ -7,81 +7,128 @@
|
|
|
% Mengenoperationen %
|
|
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
|
\section*{Mengenoperationen}
|
|
|
-$A^C\;\;\;$ Komplement der Menge $A$\\
|
|
|
-$\mathcal{P}(M)\;\;\;$ Potenzmenge von $M$\\
|
|
|
-$\overline{M}\;\;\;$ Abschluss der Menge $M$\\
|
|
|
-$\partial M\;\;\;$ Rand der Menge $M$\\
|
|
|
-$M^\circ\;\;\;$ Inneres der Menge $M$\\
|
|
|
-$A \times B\;\;\;$ Kreuzprodukt zweier Mengen\\
|
|
|
-$A \subseteq B\;\;\;$ Teilmengenbeziehung\\
|
|
|
-$A \subsetneq B\;\;\;$ echte Teilmengenbeziehung\\
|
|
|
-$A \setminus B\;\;\;$ $A$ ohne $B$\\
|
|
|
-$A \cup B\;\;\;$ Vereinigung\\
|
|
|
-$A \dcup B\;\;\;$ Disjunkte Vereinigung\\
|
|
|
-$A \cap B\;\;\;$ Schnitt\\
|
|
|
+
|
|
|
+Seien $A, B$ und $M$ Mengen.
|
|
|
+
|
|
|
+% Set \mylengtha to widest element in first column; adjust
|
|
|
+% \mylengthb so that the width of the table is \columnwidth
|
|
|
+\settowidth\mylengtha{$A \subsetneq B$}
|
|
|
+\setlength\mylengthb{\dimexpr\columnwidth-\mylengtha-2\tabcolsep\relax}
|
|
|
+
|
|
|
+\begin{xtabular}{@{} p{\mylengtha} P{\mylengthb} @{}}
|
|
|
+$A^C $ & Komplement von $A$\\
|
|
|
+$\mathcal{P}(M)$ & Potenzmenge von $M$\\
|
|
|
+$\overline{M}$ & Abschluss von $M$\\
|
|
|
+$\partial M$ & Rand der Menge $M$\\
|
|
|
+$M^\circ$ & Inneres der Menge $M$\\
|
|
|
+$A \times B$ & Kreuzprodukt\\
|
|
|
+$A \subseteq B$ & Teilmengenbeziehung\\
|
|
|
+$A \subsetneq B$ & echte Teilmengenbeziehung\\
|
|
|
+$A \setminus B$ & Differenzmenge\\
|
|
|
+$A \cup B$ & Vereinigung\\
|
|
|
+$A \dcup B$ & Disjunkte Vereinigung\\
|
|
|
+$A \cap B$ & Schnitt\\
|
|
|
+\end{xtabular}
|
|
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
|
% Geometrie %
|
|
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
|
\section*{Geometrie}
|
|
|
-$AB\;\;\;$ Gerade durch die Punkte $A$ und $B$\\
|
|
|
-$\overline{AB}\;\;\;$ Strecke mit Endpunkten $A$ und $B$\\
|
|
|
-$\triangle ABC\;\;\;$ Dreieck mit Eckpunkten $A, B, C$\\
|
|
|
-$\overline{AB} \cong \overline{CD}\;\;\;$ Die Strecken $\overline{AB}$ und $\overline{CD}$ sind isometrisch\\
|
|
|
-$|K|\;\;\;$ Geometrische Realisierung des Simplizialkomplexes $K$\\
|
|
|
+
|
|
|
+\settowidth\mylengtha{$\overline{AB} \cong \overline{CD}$}
|
|
|
+\setlength\mylengthb{\dimexpr\columnwidth-\mylengtha-2\tabcolsep\relax}
|
|
|
+
|
|
|
+\begin{xtabular}{@{} p{\mylengtha} P{\mylengthb} @{}}
|
|
|
+$AB$ & Gerade durch die Punkte $A$ und $B$\\
|
|
|
+$\overline{AB}$ & Strecke mit Endpunkten $A$ und $B$\\
|
|
|
+$\triangle ABC$ & Dreieck mit Eckpunkten $A, B, C$\\
|
|
|
+$\overline{AB} \cong \overline{CD}$& Die Strecken $\overline{AB}$ und $\overline{CD}$ sind isometrisch\\
|
|
|
+$|K|$ & Geometrische Realisierung des Simplizialkomplexes~$K$\\
|
|
|
+\end{xtabular}
|
|
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
|
% Gruppen %
|
|
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
|
\section*{Gruppen}
|
|
|
-$\Homoo(X)\;\;\;$ Homöomorphismengruppe\\
|
|
|
-$\Iso(X)\;\;\;$ Isometriengruppe\\
|
|
|
-$\GL_n(K)\;\;\;$ Allgemeine lineare Gruppe\footnote{von \textit{\textbf{G}eneral \textbf{L}inear Group}}\\
|
|
|
-$\SL_n(K)\;\;\;$ Spezielle lineare Gruppe\\
|
|
|
-$\PSL_n(K)\;\;\;$ Projektive lineare Gruppe\\
|
|
|
-$\Perm(X)\;\;\;$ Permutationsgruppe\\
|
|
|
-$\Sym(X)\;\;\;$ Symmetrische Gruppe
|
|
|
+
|
|
|
+Sei $X$ ein topologischer Raum und $K$ ein Körper.
|
|
|
+
|
|
|
+\settowidth\mylengtha{$\Homoo(X)$}
|
|
|
+\setlength\mylengthb{\dimexpr\columnwidth-\mylengtha-2\tabcolsep\relax}
|
|
|
+
|
|
|
+\begin{xtabular}{@{} p{\mylengtha} P{\mylengthb} @{}}
|
|
|
+$\Homoo(X)$ & Homöomorphis\-men\-gruppe\\
|
|
|
+$\Iso(X)$ & Isometrien\-gruppe\\
|
|
|
+$\GL_n(K)$ & Allgemeine lineare Gruppe (von \textit{\textbf{G}eneral \textbf{L}inear Group})\\
|
|
|
+$\SL_n(K)$ & Spezielle lineare Gruppe\\
|
|
|
+$\PSL_n(K)$ & Projektive lineare Gruppe\\
|
|
|
+$\Perm(X)$ & Permutations\-gruppe\\
|
|
|
+$\Sym(X)$ & Symmetrische Gruppe\\
|
|
|
+\end{xtabular}
|
|
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
|
% Wege %
|
|
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
|
\section*{Wege}
|
|
|
-$\gamma: I \rightarrow X\;\;\;$ Ein Weg\\
|
|
|
-$[\gamma]\;\;\;$ Homotopieklasse von $\gamma$\\
|
|
|
-$\gamma_1 * \gamma_2\;\;\;$ Zusammenhängen von Wegen\\
|
|
|
-$\gamma_1 \sim \gamma_2\;\;\;$ Homotopie von Wegen\\
|
|
|
-$\overline{\gamma}(x) = \gamma(1-x)\;\;\;$ Inverser Weg\\
|
|
|
-$C := \gamma([0,1])\;\;\;$ Bild eines Weges $\gamma$
|
|
|
|
|
|
+Sei $\gamma: I \rightarrow X$ ein Weg.
|
|
|
+
|
|
|
+\settowidth\mylengtha{$\gamma_1 \sim \gamma_2$}
|
|
|
+\setlength\mylengthb{\dimexpr\columnwidth-\mylengtha-2\tabcolsep\relax}
|
|
|
+
|
|
|
+\begin{xtabular}{@{} p{\mylengtha} P{\mylengthb} @{}}
|
|
|
+$[\gamma]$ & Homotopieklasse von $\gamma$\\
|
|
|
+$\gamma_1 * \gamma_2$ & Zusammenhängen von Wegen\\
|
|
|
+$\gamma_1 \sim \gamma_2$ & Homotopie von Wegen\\
|
|
|
+$\overline{\gamma}(x)$ & Inverser Weg, also $\overline{\gamma}(x) := \gamma(1-x)$\\
|
|
|
+$C$ & Bild eines Weges $\gamma$, also $C := \gamma([0,1])$
|
|
|
+\end{xtabular}
|
|
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
|
% Weiteres %
|
|
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
|
\section*{Weiteres}
|
|
|
-$\fB\;\;\;$ Basis einer Topologie\\
|
|
|
-$\calS\;\;\;$ Subbasis einer Topologie\\
|
|
|
-$\fB_\delta(x)\;\;\;$ $\delta$-Kugel um $x$\\
|
|
|
-$\fT\;\;\;$ Topologie\\
|
|
|
-
|
|
|
-$\atlas\;\;\;$ Atlas\\
|
|
|
-$\praum\;\;\;$ Projektiver Raum\\
|
|
|
-$\langle \cdot , \cdot \rangle\;\;\;$ Skalarprodukt\\
|
|
|
-$X /_\sim\;\;\;$ $X$ modulo $\sim$\\
|
|
|
-$[x]_\sim\;\;\;$ Äquivalenzklassen von $x$ bzgl. $\sim$\\
|
|
|
-$\| x \|\;\;\;$ Norm von $x$\\
|
|
|
-$| x |\;\;\;$ Betrag von $x$\\
|
|
|
-$\langle a \rangle\;\;\;$ Erzeugnis von $a$\\
|
|
|
+
|
|
|
+\settowidth\mylengtha{$\fB_\delta(x)$}
|
|
|
+\setlength\mylengthb{\dimexpr\columnwidth-\mylengtha-2\tabcolsep\relax}
|
|
|
+
|
|
|
+\begin{xtabular}{@{} p{\mylengtha} P{\mylengthb} @{}}
|
|
|
+$\fB$ & Basis einer Topologie\\
|
|
|
+$\fB_\delta(x)$& $\delta$-Kugel um $x$\\
|
|
|
+$\calS$ & Subbasis einer Topologie\\
|
|
|
+$\fT$ & Topologie\\
|
|
|
+\end{xtabular}
|
|
|
+
|
|
|
+\settowidth\mylengtha{$X /_\sim$}
|
|
|
+\setlength\mylengthb{\dimexpr\columnwidth-\mylengtha-2\tabcolsep\relax}
|
|
|
+
|
|
|
+\begin{xtabular}{@{} p{\mylengtha} P{\mylengthb} @{}}
|
|
|
+$\atlas$ & Atlas\\
|
|
|
+$\praum$ & Projektiver Raum\\
|
|
|
+$\langle \cdot , \cdot \rangle$ & Skalarprodukt\\
|
|
|
+$X /_\sim$ & $X$ modulo $\sim$\\
|
|
|
+$[x]_\sim$ & Äquivalenzklassen von $x$ bzgl. $\sim$\\
|
|
|
+$\| x \|$ & Norm von $x$\\
|
|
|
+$| x |$ & Betrag von $x$\\
|
|
|
+$\langle a \rangle$ & Erzeugnis von $a$\\
|
|
|
+\end{xtabular}
|
|
|
|
|
|
$S^n\;\;\;$ Sphäre\\
|
|
|
$T^n\;\;\;$ Torus\\
|
|
|
|
|
|
-$f \circ g\;\;\;$ Verkettung von $f$ und $g$\\
|
|
|
-$\pi_X\;\;\;$ Projektion auf $X$\\
|
|
|
-$f|_U\;\;\;$ $f$ eingeschränkt auf $U$\\
|
|
|
-$f^{-1}(M)\;\;\;$ Urbild von $M$\\
|
|
|
-$\rang(M)\;\;\;$ Rang von $M$\\
|
|
|
-$\chi(K)\;\;\;$ Euler-Charakteristik von $K$\\
|
|
|
-$\Delta^k\;\;\;$ Standard-Simplex\\
|
|
|
-$X \# Y\;\;\;$ Verklebung von $X$ und $Y$\\
|
|
|
-$d_n\;\;\;$ Lineare Abbildung aus \cref{kor:9.11}\\
|
|
|
-$A \cong B\;\;\;$ $A$ ist isometrisch zu $B$\\
|
|
|
-$f_*\;\;\;$ Abbildung zwischen Fundamentalgruppen (vgl. \cpageref{korr:11.5})
|
|
|
+\settowidth\mylengtha{$f^{-1}(M)$}
|
|
|
+\setlength\mylengthb{\dimexpr\columnwidth-\mylengtha-2\tabcolsep\relax}
|
|
|
+
|
|
|
+\begin{xtabular}{@{} p{\mylengtha} P{\mylengthb} @{}}
|
|
|
+$f \circ g$&Verkettung von $f$ und $g$\\
|
|
|
+$\pi_X$ &Projektion auf $X$\\
|
|
|
+$f|_U$ $f$ &eingeschränkt auf $U$\\
|
|
|
+$f^{-1}(M)$&Urbild von $M$\\
|
|
|
+$\rang(M)$ & Rang von $M$\\
|
|
|
+$\chi(K)$ & Euler-Charakteristik von $K$\\
|
|
|
+$\Delta^k$ & Standard-Simplex\\
|
|
|
+$X \# Y$ & Verklebung von $X$ und $Y$\\
|
|
|
+$d_n$ & Lineare Abbildung aus \cref{kor:9.11}\\
|
|
|
+$A \cong B$& $A$ ist isometrisch zu $B$\\
|
|
|
+$f_*$ & Abbildung zwischen Fundamentalgruppen (vgl. \cpageref{korr:11.5})
|
|
|
+\end{xtabular}
|
|
|
+
|
|
|
\onecolumn
|
|
|
|
|
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
|
@@ -100,21 +147,32 @@ $\mdp = \Set{2, 3, 5, 7, \dots}\;\;\;$ Primzahlen\\
|
|
|
$\mdh = \Set{z \in \mdc | \Im{z} > 0}\;\;\;$ obere Halbebene\\
|
|
|
$I = [0,1] \subsetneq \mdr\;\;\;$ Einheitsintervall\\
|
|
|
|
|
|
-$f:S^1 \hookrightarrow \mdr^2\;\;\;$ Einbettung der Kreislinie in die Ebene\\
|
|
|
-$\pi_1(X,x)\;\;\;$ Fundamentalgruppe im topologischen Raum $X$ um $x \in X$\\
|
|
|
-$\Fix(f)\;\;\;$ Menge der Fixpunkte der Abbildung $f$\\
|
|
|
-$\|\cdot\|_2\;\;\;$ 2-Norm; Euklidische Norm\\
|
|
|
-$\kappa\;\;\;$ Krümmung\\
|
|
|
-$\kappa_{\ts{Nor}}\;\;\;$ Normalenkrümmung\\
|
|
|
-$V(f)\;\;\;$ Nullstellenmenge von $f$\footnote{von \textit{\textbf{V}anishing Set}}
|
|
|
+\settowidth\mylengtha{$f:S^1 \hookrightarrow \mdr^2$}
|
|
|
+\setlength\mylengthb{\dimexpr\columnwidth-\mylengtha-2\tabcolsep\relax}
|
|
|
|
|
|
+\begin{xtabular}{@{} p{\mylengtha} P{\mylengthb} @{}}
|
|
|
+$f:S^1 \hookrightarrow \mdr^2$& Einbettung der Kreislinie in die Ebene\\
|
|
|
+$\pi_1(X,x)$ & Fundamentalgruppe im topologischen Raum $X$ um $x \in X$\\
|
|
|
+$\Fix(f)$ & Menge der Fixpunkte der Abbildung $f$\\
|
|
|
+$\|\cdot\|_2$ & 2-Norm; Euklidische Norm\\
|
|
|
+$\kappa$ & Krümmung\\
|
|
|
+$\kappa_{\ts{Nor}}$ & Normalenkrümmung\\
|
|
|
+$V(f)$ & Nullstellenmenge von $f$\footnotemark
|
|
|
+\end{xtabular}
|
|
|
+\footnotetext{von \textit{\textbf{V}anishing Set}}
|
|
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
|
% Krümmung %
|
|
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
|
\section*{Krümmung}
|
|
|
-$D_p F: \mdr^2 \rightarrow \mdr^3\;\;\;$ Lineare Abbildung mit Jacobi-Matrix in $p$ (siehe \cpageref{def:Tangentialebene})\\
|
|
|
-$T_s S\;\;\;$ Tangentialebene an $S \subseteq \mdr^3$ durch $s \in S$\\
|
|
|
-$d_s n(x)\;\;\;$ Weingarten-Abbildung\\
|
|
|
+
|
|
|
+\settowidth\mylengtha{$D_p F: \mdr^2 \rightarrow \mdr^3$}
|
|
|
+\setlength\mylengthb{\dimexpr\columnwidth-\mylengtha-2\tabcolsep\relax}
|
|
|
+
|
|
|
+\begin{xtabular}{@{} p{\mylengtha} P{\mylengthb} @{}}
|
|
|
+$D_p F: \mdr^2 \rightarrow \mdr^3$& Lineare Abbildung mit Jacobi-Matrix in $p$ (siehe \cpageref{def:Tangentialebene})\\
|
|
|
+$T_s S$ & Tangentialebene an $S \subseteq \mdr^3$ durch $s \in S$\\
|
|
|
+$d_s n(x)$ & Weingarten-Abbildung\\
|
|
|
+\end{xtabular}
|
|
|
|
|
|
\index{Faser|see{Urbild}}
|
|
|
\index{kongruent|see{isometrisch}}
|
Martin Thoma