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@@ -13,14 +13,30 @@ maximaler Ordnung zu erhalten. Wie hoch ist die Ordnung?
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\paragraph{Lösung}
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-$b_1 = \frac{1}{4}$ und $b_2 = \frac{3}{4}$ erreichen laut Felix Ordnung 3.
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+Als erstes stellen wir fest, dass die Knoten nicht symmetrisch (d.h.
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+gespiegelt bei $\frac{1}{2}$) sind. TODO: Warum ist das wichtig?
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-Damit is
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+$\stackrel{\text{Satz 28}}{\Rightarrow}$ Wenn wir Ordnung $s = 2$ fordern, sind die Gewichte eindeutig bestimmt.
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+
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+Da $c_1 = 0$ kann es sich nicht um die Gauß-QF handeln. Somit können
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+wir nicht Ordnung 4 erreichen.
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+
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+Nach VL kann bei Vorgabe von $s$ Knoten auch die Ordnung $s$ durch
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+geschickte Wahl der Gewichte erreicht werden.
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+Also berechnen wir die Gewichte, um die Ordnung 2 zu sichern:
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-Die möglichen Quadraturformeln lauten:
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\begin{align}
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- Q(f) &= (b-a)\sum_{i=1}^2 b_i f (a+ c_i (b-a))\\
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- &= (b-a) \cdot \left ( b_1 f(a) + b_2 f \left (a + \frac{2}{3}(b-a) \right ) \right )
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+ b_i &= \int_0^1 L_i(x) \mathrm{d}x\\
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+ b_1 &= \frac{1}{4}\\
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+ b_2 &= \frac{3}{4}
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\end{align}
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-$\stackrel{\text{Satz 28}}{\Rightarrow}$ Wenn wir Ordnung $s = 2$ fordern, sind die Gewichte eindeutig bestimmt.
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+Diese Gewichte $b_1, b_2$ erfüllen die 1. und 2. Ordnungsbedingung.
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+
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+\begin{align}
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+ \frac{1}{3} &= \sum_{i=1}^2 b_i \cdot c_i^2\\
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+ &= \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{9}\\
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+ &= \frac{1}{3}
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+\end{align}
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+
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+Damit ist auch die 3. Ordnungsbedingung und mit den Knoten maximale Ordnung erfüllt.
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Martin Thoma