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@@ -7,12 +7,12 @@ wobei $T_{n}$
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die \index{Ankunftszeit}Ankunftszeit des $n$-ten Kunden bezeichnet.
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Ein oder mehrere Bediener arbeiten die Schlange ab und für jeden Kunden
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-wird eine bestimmte \index{Bedienzeit}`Bedienzeit' benötigt. Es sei $x_{n}$ die Bedienzeit
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+wird eine bestimmte \index{Bedienzeit}\enquote{Bedienzeit} benötigt. Es sei $x_{n}$ die Bedienzeit
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des $n$-ten Kunden.
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Die Reihenfolge der Bedienung der Kunden wird durch
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-die sogenannte \index{Disziplin}`Disziplin' der Warteschlange bestimmt.Wir nehmen meistens
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+die sogenannte \index{Disziplin}\enquote{Disziplin} der Warteschlange bestimmt.Wir nehmen meistens
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FCFS (First Come First Serve) an. Andere Möglichkeiten wären LCFS (Last
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-Come First Serve) oder `Prioritäten'.
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+Come First Serve) oder \enquote{Prioritäten}.
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Folgende Annahmen werden getroffen:
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\begin{enumerate}
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@@ -32,7 +32,7 @@ $x_{n}$ ist. \\
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$s \dots$ Anzahl der Bediener \index{Server}(Server).
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Kurznotationen für Verteilungen sind: \\
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-$M$ $\dots$ \index{Verteilung!Exponential-}Exponentialverteilung (`memoryless'). \\
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+$M$ $\dots$ \index{Verteilung!Exponential-}Exponentialverteilung (\enquote{memoryless}). \\
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Dichtefunktion:
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\begin{displaymath}
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f(x) = \lambda e^{-\lambda x} \qquad x\geq 0.
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@@ -52,7 +52,7 @@ Dichtefunktion:
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f(x)=\sum_{i=1}^{n} p_{i} \lambda_{i} e^{-\lambda_{i}x}.
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\end{displaymath}
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$D$ $\dots$ \index{Verteilung!Deterministische}Deterministisch: Ein fixer Wert wird angenommen. \\
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-$G$ $\dots$ \index{Verteilung!Allgemeine}`General': Allgemeine Verteilung (alles, was nicht vorher erwähnt
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+$G$ $\dots$ \index{Verteilung!Allgemeine}\enquote{General}: Allgemeine Verteilung (alles, was nicht vorher erwähnt
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wurde).
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Die Sonderstellung der Exponentialverteilung ist begründet durch ihre
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@@ -73,7 +73,7 @@ t}}= e^{-\lambda x},
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\end{displaymath}
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also unabhängig davon, wie lange wir schon vorher gewartet haben.
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-Es gibt abgeleitete Grö\3en, die das Verhalten der Warteschlange
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+Es gibt abgeleitete Größen, die das Verhalten der Warteschlange
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beschreiben wie:
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\begin{enumerate}
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\item $w_{n}$ $\dots$ \index{Wartezeit}Wartezeit des $n$-ten Kunden.
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@@ -136,13 +136,13 @@ existiert
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Falls $\E u > 0$, dann geht $u_{1}+ \cdots + u_{n-1}$ $\rightarrow
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\infty$, also auch $\tilde w$. Falls $\E u < 0$, dann geht $u_{1}+ \cdots
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+ u_{n-1}$ $\rightarrow -\infty$, also ist für $n>n_{0}$ $u_{1}+ \cdots +
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-u_{n-1} <0 $, was bedeutet da\3 nur die ersten Glieder in der Definition
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+u_{n-1} <0 $, was bedeutet daß nur die ersten Glieder in der Definition
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von $\tilde w_{n}$ wichtig sind; also ist $\tilde w$ endlich. Falls $\E
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u = 0$, ist können wir den einfachen Fall $D/D/1$ betrachten. In diesem
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Fall ist $w_{n}=0$, also ist das Verhalten stationär. Leider ist das der
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einzige Fall; sobald $A$ oder $B$ nicht degenerierte Verteilungen haben,
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kann $\tilde w_{n}$ nicht gegen eine endliche Zufallsvariable
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-konvergieren, weil etwa nach dem zentralen Grenzwertsatz für $n$ gro\3
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+konvergieren, weil etwa nach dem zentralen Grenzwertsatz für $n$ groß
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genug
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\begin{displaymath}
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\PP(\tilde w_{n} > a \sqrt{n.{\bf Var}(u)}) \geq 1- \Phi(a)- \epsilon > 0 ~.
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@@ -155,14 +155,14 @@ also
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\begin{displaymath}
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\PP(\tilde w = \infty) \geq 1- \Phi(a)- \epsilon ~.
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\end{displaymath}
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-Es bleibt uns also für stationäres Verhalten (au\3er im Trivialfall \\
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+Es bleibt uns also für stationäres Verhalten (außer im Trivialfall \\
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$D/D/1$) die Bedingung
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\begin{displaymath}
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\E (u) < 0 \Leftrightarrow \E (x) < \E (t) \Leftrightarrow \rho=
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\frac{\E (x)}{\E (t)} < 1 ~.
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\end{displaymath}
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-Wir bezeichnen den Kehrwert von $\E (t)$ als die \index{Ankunftsrate}`Ankunftsrate' $\lambda =
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-\frac{1}{\E (t)}$ und $\mu = \frac{1}{\E (x)}$ als die \index{Bedienrate}`Bedienrate'. Es
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+Wir bezeichnen den Kehrwert von $\E (t)$ als die \index{Ankunftsrate}\enquote{Ankunftsrate} $\lambda =
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+\frac{1}{\E (t)}$ und $\mu = \frac{1}{\E (x)}$ als die \index{Bedienrate}\enquote{Bedienrate}. Es
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sind dies die Anzahl von Kunden, die in einem langen Zeitraum
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durchschnittlich pro Zeiteinheit ankommen bzw. bedient werden, falls
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ununterbrochen
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@@ -172,10 +172,10 @@ $\rho<1$.
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%--------------------------------------------------------------------------
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\section{Der Satz von Little}
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%---------------------------------------------------------------------------
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-Wir nehmen jetzt an, da\3 in unserer Schlange stationäres Verhalten
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+Wir nehmen jetzt an, daß in unserer Schlange stationäres Verhalten
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herrscht; wir wollen eine Beziehung zwischen der Ankuftsrate, der mittleren
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Anzahl der Kunden im System und der mittleren Aufenthaltsdauer finden.
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-Dazu nehmen wir an, da\3 wir jeden Kunden für die Zeit, die er im System
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+Dazu nehmen wir an, daß wir jeden Kunden für die Zeit, die er im System
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verbringt, bezahlen müssen. Die Summe, die insgesamt zu bezahlen ist,
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berechnet sich als $T \E (N)$, da zu jedem Zeitpunkt durchschnittlich $\E
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(N)$
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@@ -186,7 +186,7 @@ zu bezahlende Summe auch gleich $\lambda T \E (z)$.
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Beide Gleichungen sind nicht vollständig exakt, weil in beiden Fällen
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noch zufällige Schwankungen dazukommen, und weil bei der zweiten
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-Gleichung auch nicht berücksichtigt wurde, da\3 einige Kunden noch nach
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+Gleichung auch nicht berücksichtigt wurde, daß einige Kunden noch nach
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$T$ bleiben. Diese Fehler sind aber von kleineren Ordnung als $T$. Wir
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haben also
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\begin{displaymath}
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@@ -197,19 +197,19 @@ Dividieren wir durch $T$ und $T \rightarrow \infty$ gibt
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\E (N) = \lambda \E (z) ~,
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\end{displaymath}
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d.h. Mittlere Anzahl = Ankuftsrate $*$ Mittlere Aufenthaltsdauer. Wendet
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-man dieses Ergebnis auf den Server allein an, ergibt sich, da\3 die
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+man dieses Ergebnis auf den Server allein an, ergibt sich, daß die
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Mittlere Anzahl der Kunden, die gerade bedient werden =
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\begin{displaymath}
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\lambda \E (x) = \frac{\lambda}{\mu} = \rho ~.
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\end{displaymath}
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|
Da aber höchstens 1 Kunde bedient wird, ist das gleich der
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-Wahrscheinlichkeit, da\3 der Server besetzt ist, oder der Auslastung des
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+Wahrscheinlichkeit, daß der Server besetzt ist, oder der Auslastung des
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Servers.
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%---------------------------------------------------------------------------
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|
\chapter{Warteschlangensysteme}
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\section{Die Schlange $M/M/1$}
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%---------------------------------------------------------------------------
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-Im Folgenden gehen wir von der `FCFS'-Disziplin aus.
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+Im Folgenden gehen wir von der \enquote{FCFS}-Disziplin aus.
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Um die zukünftige Entwicklung einer Warteschlange bestimmen zu können,
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benötigen wir 3 Angaben zur Zeit $t$.
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\begin{enumerate}
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@@ -235,9 +235,9 @@ die Anzahl zur Zeit t bekannt ist. Die Anzahl kann sich in folgender Weise
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\item Es kann genau ein Kunde fertig werden.
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\item Es kann mehr als ein Ereignis (Ankunft, gehen) auftreten.
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\end{enumerate}
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-Die Wahrscheinlichkeit, da\3 mindestens ein Kunde im Intervall $(t, t+ \Delta t)$
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+Die Wahrscheinlichkeit, daß mindestens ein Kunde im Intervall $(t, t+ \Delta t)$
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ankommt, ist $1-e^{-\lambda \Delta t} = \lambda \Delta t + o (\Delta t)$.
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-Ebenso ist die Wahrscheinlichkeit, da\3 ein Kunde fertig wird $\mu \Delta
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|
+Ebenso ist die Wahrscheinlichkeit, daß ein Kunde fertig wird $\mu \Delta
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t + o(\Delta t)$. Die Wahrscheinlichkeit für 4. ist, wie man leicht
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einsieht, $o(\Delta t)$. Das gibt für 1. die Wahrscheinlichkeit $1 -
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(\lambda + \mu) \Delta t + o(\Delta t)$. Falls die Schlange leer ist,
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@@ -253,7 +253,7 @@ p_{0}(t + \Delta t) &=& \mu \Delta t . p_{1}(t) + (1 - \lambda \Delta t)
|
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|
p_{0}(t) + o(\Delta t) ~.
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|
|
\end{eqnarray*}
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Wenn man $p_{n}(t)$ auf die linke Seite bringt und durch $\Delta t$
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-dividiert und $\Delta t \rightarrow 0$ lä\3t, ergibt sich
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|
+dividiert und $\Delta t \rightarrow 0$ läßt, ergibt sich
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\begin{eqnarray*}
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p'_{n}(t) &=& \mu p_{n+1}(t)-(\lambda + \mu) p_{n}(t)+ \lambda p_{n-1}(t)
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|
|
\\
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@@ -262,7 +262,7 @@ p'_{0}(t) &=& \mu p_{1}(t)- \lambda p_{0}(t) ~.
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|
|
Diese Gleichungen lassen sich etwa mit Hilfe von Transformationen lösen,
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aber das Ergebnis ist nicht besonders schön. Wir beschränken uns daher
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jetzt und in der Folge auf die Bestimmung der stationären Lösung. Diese
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-ist natürlich dadurch gekennzeichnet, da\3 $p_{n}(t)$ nicht von der Zeit
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|
+ist natürlich dadurch gekennzeichnet, daß $p_{n}(t)$ nicht von der Zeit
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$t$ abhängt, also $p'_{n}(t)=0$. Das ergibt die Gleichungen
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\begin{eqnarray*}
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\mu p_{n+1}-(\lambda +\mu) p_{n} + \lambda p_{n-1} &=& 0 \\
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@@ -318,8 +318,8 @@ Jetzt benötigen wir zusätzlich zu $N_{t}$ die Information über die
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schon verbrauchte Bedienzeit. Die einfachste Methode besteht darin, das
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System nur in solchen Zeitpunkten zu betrachten, an denen die verbrauchte
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Bedienzeit bekannt ist (und zwar = 0), nämlich die Zeitpunkte $T_{n}$, in
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-denen der n-te Kunde das System verlä\3t. Es sei $N_{n}$ die Anzahl der
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-Kunden, die dann im System verbleiben. Es gilt: Falls $N_{n}=0$, so mu\3
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+denen der n-te Kunde das System verläßt. Es sei $N_{n}$ die Anzahl der
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|
|
+Kunden, die dann im System verbleiben. Es gilt: Falls $N_{n}=0$, so muß
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zuerst gewartet werden, bis ein neuer Kunde ankommt; wenn dieser Kunde
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geht, sind noch genau die Kunden da, die während seiner Bedienzeit
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angekommen sind; bezeichnet man $M_{n}$ als die Anzahl der Kunden, die
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@@ -331,7 +331,7 @@ Falls $N_{n} \not= 0$ ist
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\begin{displaymath}
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N_{n+1} = N_{n} - 1 + M_{n} ~.
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\end{displaymath}
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-Zusammengefa\3t ergibt sich:
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|
+Zusammengefaßt ergibt sich:
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\begin{displaymath}
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N_{n+1} = (N_{n} - 1)_{+} + M_{n} ~.
|
|
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\end{displaymath}
|
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@@ -347,7 +347,7 @@ Die erzeugende Funktion von $(N_{n}-1)_{+}=$
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&=& \frac{\hat P(z) - p_{0}(1-z)}{z} ~.
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\end{eqnarray*}
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Mithilfe der Transformationen (Anhang A) ergibt sich die erzeugende Funktion von $M_{n}$
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-(die Ankünfte bilden ja einen Poisson - Proze\3) als
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+(die Ankünfte bilden ja einen Poisson - Prozeß) als
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\begin{displaymath}
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\tilde B (\lambda(1 - z)) ~,
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\end{displaymath}
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@@ -368,7 +368,7 @@ P^{*}(z) = \frac{(1- \rho)(1-z) \tilde B ( \lambda (1-z))}{ \tilde B (
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\lambda(1-z)) - z} ~,
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\end{displaymath}
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eine sogenannte \index{Pollaczek - Khinchin Formel}Pollaczek - Khinchin Formel. Die Anzahl der Kunden, die der $n$-te
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-Kunde zurücklä\3t, ist genau die Anzahl der Kunden, die ankommen
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+Kunde zurückläßt, ist genau die Anzahl der Kunden, die ankommen
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während er im System ist (d.h. während $z_{n}$), d.h. für die
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$L$-Transformierte $ \tilde Z (t)$ der Verteilung von $z$ gilt:
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\begin{displaymath}
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@@ -420,12 +420,12 @@ $t_{n+1}$)} =
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\end{eqnarray*}
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Die Gleichung für $k=0$ ist überflüssig, da sie aus den Gleichungen
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für $k>0$ und der Beziehung $\sum_{}^{} p_{k}=1$ gefolgert werden kann.
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-Man kann zeigen, da\3 diese Gleichung eine eindeutige Lösung besitzt.
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|
|
+Man kann zeigen, daß diese Gleichung eine eindeutige Lösung besitzt.
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Falls nun $(p_{k})$ eine Lösung ist, ist auch
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\begin{displaymath}
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\tilde p_{k} = \frac{p_{k+1}}{1-p_{0}}
|
|
|
\end{displaymath}
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|
|
-eine Lösung. Es mu\3 also
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|
+eine Lösung. Es muß also
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\begin{displaymath}
|
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|
\tilde p_{k} = p_{k} ~,
|
|
|
\end{displaymath}
|
|
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@@ -455,7 +455,7 @@ ist wieder dieselbe Exponentialverteilung wie die von $z$.
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Hier sind beide Verteilungen - die der Zwischenankunftszeiten und die der
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Bedienzeiten - allgemeine Verteilungen. Der Trick der vorigen beiden
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Kapitel funktioniert jetzt nicht mehr gut. Um beide Zeiten zu
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-kontrollieren, mü\3ten wir das System nun zu den Zeitpunkten betrachten,
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+kontrollieren, müßten wir das System nun zu den Zeitpunkten betrachten,
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in denen ein Kunde das leere System betritt; diese Zeitpunkte sind aber zu
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selten, um vernüftig damit zu arbeiten. Statt dessen gehen wir von der
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Rekursion für die Wartezeiten aus:
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@@ -491,7 +491,7 @@ W(x) + Y(x) = \int_{-\infty}^{\infty} W(x-u) c(u) du ~.
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\end{displaymath}
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Wir bezeichnen jetzt die Laplace - Transformierte von $W$ mit $\Phi (t)$,
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und die von $Y$ mit $\Phi^{-}(t)$. Durch partielle Integration zeigt man,
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-da\3
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+daß
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\begin{displaymath}
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\Phi (t) = \frac{1}{t} \tilde W(t)
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\end{displaymath}
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@@ -504,8 +504,8 @@ oder
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\begin{displaymath}
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\frac{\Phi^{-}(t)}{\Phi (t)} = \tilde A (-t) \tilde B (t) -1 ~.
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\end{displaymath}
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-Wir nehmen an, da\3 $\tilde A(t)$ für $t \geq -D$ existiert. (Das ist
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-gleichbedeutend damit, da\3 $\PP (t_{n} \geq x)$ wie $e^{-Dx}$ fällt).
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|
|
+Wir nehmen an, daß $\tilde A(t)$ für $t \geq -D$ existiert. (Das ist
|
|
|
+gleichbedeutend damit, daß $\PP (t_{n} \geq x)$ wie $e^{-Dx}$ fällt).
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|
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Dann existiert $\tilde A (-t) \tilde B (t) - 1$ für $0 \leq t \leq D$;
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Ferner existiert $\Phi (t)$ für $t >0$ und $t \Phi (t)$ ist in $\Re (t)
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\geq 0$ regulär und beschränkt; $\Phi^{-}(t)$ existiert für $t \leq D$
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@@ -531,7 +531,7 @@ oder
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Die linke Seite ist für $\Re (t) < D$ regulär und beschränkt, die
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rechte Seite für $\Re (t) > 0$. Es ist dadurch also eine Funktion
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bestimmt, die in der ganzen Ebene regulär und beschränkt ist. Nach dem
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-Satz von \index{Satz!LIOUVILLE}LIOUVILLE mu\3 eine solche Funktion konstant sein. Es gilt also
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+Satz von \index{Satz!LIOUVILLE}LIOUVILLE muß eine solche Funktion konstant sein. Es gilt also
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\begin{displaymath}
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\Phi (t) = \frac{K}{\Psi^{+}(t)} ~,
|
|
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\end{displaymath}
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Martin Thoma