|
|
@@ -396,3 +396,169 @@ schneiden sich.
|
|
|
Jeder Innenwinkel eines Dreiecks ist kleiner als alle nicht-anliegenden
|
|
|
Außenwinkel.
|
|
|
\end{bemerkung}
|
|
|
+
|
|
|
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
|
+% Mitschrieb vom 16.01.2014 %
|
|
|
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
|
+\begin{proposition}\label{prop:14.7}%In Vorlesung: Proposition 14.7
|
|
|
+ Gelten \cref{axiom:1}~-~\cref{axiom:4}, so gibt es zu $g \in G$
|
|
|
+ und $P \in X \setminus g$ stets ein $h \in G$ mit $P \in h$ und
|
|
|
+ $h \cap g = \emptyset$.
|
|
|
+\end{proposition}
|
|
|
+
|
|
|
+\todo[inline]{Bild mit paralleler gerade ... das hatte ich doch schon mal}
|
|
|
+
|
|
|
+\begin{beweis}
|
|
|
+ Sei $\varphi$ die Isometrie, die $Q$ auf $P$ und $P$ auf $P'$
|
|
|
+ mit $P' \in f, d(P,P') = d(P, Q)$ abbildet und die Halbebenen
|
|
|
+ bzgl. $f$ erhält.
|
|
|
+\end{beweis}
|
|
|
+
|
|
|
+\begin{behauptung}[Herz]
|
|
|
+ $\varphi(g) \cap g = \emptyset$
|
|
|
+\end{behauptung}
|
|
|
+
|
|
|
+\begin{beweis}
|
|
|
+ Ist $\varphi(g) \cap g \neq \emptyset$, so ist $R$ der Schnittpunkt.
|
|
|
+\end{beweis}
|
|
|
+
|
|
|
+\todo[inline]{Skizze zu Behauptung Herz}
|
|
|
+
|
|
|
+\begin{definition}%In Vorlesung: 14.8
|
|
|
+ \begin{enumerate}[label=\alph*),ref=\alph*]
|
|
|
+ \item Ein \textbf{Winkel}\xindex{Winkel} ist ein Punkt $P \in X$ \label{def:14.8a}
|
|
|
+ zusammen mit $2$ Halbgeraden mit Anfangspunkt $P$.\\
|
|
|
+ Man schreibt: $\angle R_1 P R_2$ bzw. $\angle R_2 P R_1$\footnote{Für dieses Skript gilt: $\angle R_1 P R_2 = \angle R_2 P R_1$. Also sind insbesondere alle Winkel $ \leq 180^\circ$.}
|
|
|
+ \item Zwei Winkel sind \textbf{gleich}, wenn es eine Isometrie gibt,
|
|
|
+ die den einen Winkel auf den anderen abbildet.
|
|
|
+ \item \label{def:14.8c}$\angle R_1' P' R_2'$ heißt \textbf{kleiner} als
|
|
|
+ $\angle R_1 P R_2$, wenn es eine Isometrie $\varphi$
|
|
|
+ gibt, mit $\varphi(P) = P'$, $\varphi(PR'_1+) = P' R_1 +$
|
|
|
+ und $\varphi(R_2')$ liegt in der gleichen Halbebene
|
|
|
+ bzgl. $PR_1$ wie $R_2$ und in der gleichen Halbebene
|
|
|
+ bzgl. $PR_2$ wie $R_1$
|
|
|
+ \item \label{def:14.8d} \ref{def:14.8d} Im Dreieck $\triangle PQR$ gibt es {\color{green} Innenwinkel} und
|
|
|
+ {\color{red} Außenwinkel}.
|
|
|
+ \end{enumerate}
|
|
|
+\end{definition}
|
|
|
+
|
|
|
+\todo[inline]{$\angle R_1' P' R_2'$ ist kleiner als $\angle R_1 P R_2$, vgl. \cref{def:14.8c} (Bild 4)}
|
|
|
+\todo[inline]{{\color{green} Innenwinkel} und {\color{red} Außenwinkel} in $\triangle PQR$, vgl. \cref{def:14.8d} (Bild 5)}
|
|
|
+
|
|
|
+\begin{korollar}\label{kor:14.9}%In Vorlesung: Bemerkung 14.9
|
|
|
+ In einem Dreieck ist jeder Innenwinkel kleiner als jeder nicht
|
|
|
+ anliegende Außenwinkel.
|
|
|
+\end{korollar}
|
|
|
+
|
|
|
+\begin{figure}[htp]
|
|
|
+ \centering
|
|
|
+ \input{figures/todo.tex}
|
|
|
+ \caption{Situation aus \cref{kor:14.9}}
|
|
|
+ \label{fig:bem.14.9}
|
|
|
+\end{figure}
|
|
|
+
|
|
|
+\begin{beweis}
|
|
|
+ Zeige $\angle PRQ < \angle RQP'$.
|
|
|
+
|
|
|
+ Sei $M$ der Mittelpunkt der Strecke $\overline{QR}$. Sei
|
|
|
+ $A \in MP^-$ mit $d(P,M) = d(M,A)$.
|
|
|
+
|
|
|
+ Es gilt: $d(Q,M) = d(M,R)$ und $d(P,M) = d(M,A)$ sowie
|
|
|
+ $\angle PMR = \angle AMQ \Rightarrow \triangle MRQ$ ist
|
|
|
+ kongruent zu $\triangle AMQ$, denn eine der beiden Isometrien, die
|
|
|
+ $\angle PMR$ auf $\angle AMQ$ abbildet, bildet $R$ auf $Q$ und
|
|
|
+ $P$ auf $A$ ab.
|
|
|
+
|
|
|
+ $\Rightarrow \angle MQA = \angle MRP = \angle QRP = \angle PRQ$.
|
|
|
+
|
|
|
+ Noch zu zeigen: $\angle MQA < \angle RQP'$, denn $A$ liegt in der
|
|
|
+ selben Halbebene bzgl. $PQ$ wie $M$.
|
|
|
+\end{beweis}
|
|
|
+
|
|
|
+\begin{beweis}[von \cref{prop:14.7}]
|
|
|
+ Wäre $\varphi(g)$ nicht parallel zu $g$, so gäbe es einen
|
|
|
+ Schnittpunkt $R$. Dann ist $\angle QPR < \angle RQP^-$ nach
|
|
|
+ \cref{kor:14.9} und $\angle QPR = \angle RQP^-$, weil
|
|
|
+ $\varphi(\angle RQP') = \angle RPQ$
|
|
|
+\end{beweis}
|
|
|
+
|
|
|
+\begin{folgerung}\label{folgerung:14.10}%In Vorlesung: Folgerung 14.10
|
|
|
+ Die Summe zweier Innenwinkel in einem Dreieck ist kleiner als
|
|
|
+ $\pi$, d.~h. es gibt eine Isometrie $\varphi$ mit $\varphi(Q) = P$
|
|
|
+ und $\varphi(QP^+) = PR^+$, sodass $\varphi(R)$ in der gleichen
|
|
|
+ Halbebene bzgl. $PQ$ liegt wie $R$.
|
|
|
+\end{folgerung}
|
|
|
+
|
|
|
+\begin{figure}[ht]
|
|
|
+ \centering
|
|
|
+ \subfloat[Situation aus \cref{folgerung:14.10} (Bild 8)]{
|
|
|
+ \input{figures/todo.tex}
|
|
|
+ \label{fig:bem.14.9.1}
|
|
|
+ }%
|
|
|
+ \subfloat[Situation aus \cref{folgerung:14.10} (Bild 9)]{
|
|
|
+ \input{figures/todo.tex}
|
|
|
+ \label{fig:bem.14.9.2}
|
|
|
+ }
|
|
|
+ \label{fig:14.10.0}
|
|
|
+ \caption{Situation aus \cref{folgerung:14.10}}
|
|
|
+\end{figure}
|
|
|
+
|
|
|
+\begin{beweis}
|
|
|
+ Die Summe eines Innenwinkels mit den anliegenden Außenwinkeln ist
|
|
|
+ $\pi$, d.~h. die beiden Halbgeraden bilden eine Gerade.
|
|
|
+\end{beweis}
|
|
|
+
|
|
|
+\begin{figure}[htp]
|
|
|
+ \centering
|
|
|
+ \input{figures/todo.tex}
|
|
|
+ \caption{In der sphärischen Geometrie gibt es, im Gegensatz zur euklidischen Geometrie, Dreiecke mit drei $90^\circ$-Winkeln.}
|
|
|
+ \label{fig:bem.14.9}
|
|
|
+\end{figure}
|
|
|
+
|
|
|
+\begin{proposition}\label{prop:14.11}%In Vorlesung: Proposition 14.11
|
|
|
+ In einer Geometrie mit den Axiomen \ref{axiom:1}~-~\ref{axiom:4}
|
|
|
+ ist in jedem Dreieck die Summe der Innenwinkel $\leq \pi$.
|
|
|
+\end{proposition}
|
|
|
+
|
|
|
+Sei im Folgenden \enquote{IWS} die \enquote{Innenwinkelsumme}.
|
|
|
+
|
|
|
+\begin{beweis}
|
|
|
+ Sei $\triangle$ ein Dreieck mit $\IWS(\triangle) = \pi + \varepsilon$
|
|
|
+
|
|
|
+ \begin{figure}[ht]
|
|
|
+ \centering
|
|
|
+ \subfloat[Summe der Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ (Bild 11)]{
|
|
|
+ \input{figures/todo.tex}
|
|
|
+ \label{fig:prop14.11.1}
|
|
|
+ }%
|
|
|
+ \subfloat[Situation aus \cref{prop:14.11} (Bild 12)]{
|
|
|
+ \input{figures/todo.tex}
|
|
|
+ \label{fig:prop14.11.2}
|
|
|
+ }
|
|
|
+ \label{fig:prop14.11.0}
|
|
|
+ \caption{Situation aus \cref{prop:14.11}}
|
|
|
+ \end{figure}
|
|
|
+
|
|
|
+ Sei $\alpha$ ein Innenwinkel von $\triangle$.
|
|
|
+
|
|
|
+ \begin{behauptung}
|
|
|
+ Es gibt ein Dreieck $\triangle'$ mit \todo{Was steht hier?}
|
|
|
+ $\cos(\triangle') = \IWS(\triangle)$ und einem Innenwinkel
|
|
|
+ $\alpha' \leq \frac{\alpha}{2}$.
|
|
|
+
|
|
|
+ Dann gibt es für jedes $n$ ein $\triangle_n$ mit $\IWS(\triangle_n) = \IWS(\triangle)$
|
|
|
+ und Innenwinkel $\leq \frac{\alpha}{2^n}$. Für $\frac{\alpha}{2^n} < \varepsilon$
|
|
|
+ ist dann die Summe der \todo{Was steht hier?} anderen Innenwinkel
|
|
|
+ um $\triangle_n$ größer als $\pi \Rightarrow$ Widerspruch zu
|
|
|
+ \cref{folgerung:14.10}.
|
|
|
+ \end{behauptung}
|
|
|
+
|
|
|
+ \begin{beweis}[der Behauptung]
|
|
|
+ Sei $M$ der Mittelpunkt $\overline{RC}$ und $A' \in MA^-$ mit
|
|
|
+ $d(A', M) = d(A, M) \Rightarrow \triangle(MA'C)$ und
|
|
|
+ $\triangle(MAB)$ sind kongruent.
|
|
|
+ $\Rightarrow \angle ABM = \angle A'CM$ und $\angle MA'C = \angle MAB$.
|
|
|
+ $\Rightarrow \alpha + \beta + \gamma =\IWS(\triangle ABC) = \IWS(\triangle AA'C)$
|
|
|
+ und $\alpha_1 + \alpha_2 = \alpha$, also \obda $\alpha_1 \leq \frac{\alpha}{2}$
|
|
|
+ \end{beweis}
|
|
|
+\end{beweis}
|
Martin Thoma