Erster Schwung von Peter geTeXt

documents/Numerik/Klausur1/Aufgabe2.tex

@@ -34,7 +34,7 @@ Geben Sie die Formel zur Berechnung von $y_i$ an.
     \Require Matrix $A$, Vektor $b$
 	\Procedure{LoeseLGS}{$A$, $b$}
     	\State $P, L, R \gets \Call{LRZer}{A}$
-		\State $b^* \gets Pb$
+		\State $b^* \gets P \cdot b$
 		\State $c \gets \Call{VorSub}{L, b^*}$
 		\State $x \gets \Call{RueckSub}{R, c}$
 		\State \Return $x$

documents/Numerik/Klausur1/Klausur1.tex

@@ -22,12 +22,12 @@
 \newcommand{\cmark}{\ding{51}}%
 \newcommand{\xmark}{\ding{55}}%
 
-\title{Numerik Klausur1 - Musterlösung}
+\title{Numerik Klausur 1 - Musterlösung}
 \makeatletter
 \AtBeginDocument{
 	\hypersetup{ 
-	  pdfauthor   = {Martin Thoma}, 
-	  pdfkeywords = {Numerik,KIT}, 
+	  pdfauthor   = {Martin Thoma, Peter, Felix},
+	  pdfkeywords = {Numerik, KIT, Klausur}, 
 	  pdftitle    = {\@title} 
   	}
 	\pagestyle{fancy}

documents/Numerik/Klausur2/Aufgabe1.tex

@@ -0,0 +1,35 @@
+\section*{Aufgabe 1}
+\subsection*{Teilaufgabe a)}
+
+$
+L =
+\begin{pmatrix}
+2 & 0 & 0 \\
+1 & 2 & 0 \\
+4 & 2 & 3 \\
+\end{pmatrix}
+$
+
+
+\subsection*{Teilaufgabe b)}
+\textbf{Gesucht}: $\det(A)$
+
+Sei $P \cdot L = L \cdot R$, die gewohnte LR-Zerlegung.
+
+Dann gilt:
+
+\[\det(A) = \det(L) \cdot \det(R) / \det(P)\]
+
+$\det(L) = 1$, da alle Diagonalelemente 1 sind und es sich um eine untere Dreiecksmatrix handelt.
+
+$\det(R) = r_{11} \cdot \ldots \cdot r_{nn} $ da es sich um eine obere Dreiecksmatrix handelt.
+
+
+$\det(P) = 1$ oder $-1$
+
+Das Verfahren ist also:
+\begin{enumerate}
+\item Berechne Restmatrix R mit dem Gaußverfahren.
+\item \label{manker} Multipliziere die Diagonalelemente von R
+\item falls die Anzahl an Zeilenvertauschungen ungerade ist negiere das Produkt aus \ref{manker} (eine Zeilenvertauschung verändert lediglich das Vorzeichen und P ist durch Zeilenvertauschungen aus der Einheitsmatrix hervorgegangen)
+\end{enumerate}

documents/Numerik/Klausur2/Aufgabe2.tex

@@ -0,0 +1,43 @@
+\section*{Aufgabe 2}
+\subsection*{Teilaufgabe a)}
+Formel: $y_i = \frac{b_i - \sum_{j=1}^{i-1} y_j \cdot l_{ij}}{l_{ii}} $
+
+Anmerkung: $l_{ii}$ kann nicht $0$ sein, da L dann nicht mehr invertierbar wäre.
+
+Algorithmus:
+
+\begin{algorithm}[H]
+    \begin{algorithmic}
+    	\For{$i=1$ to $i=n$}
+			\State $sum \gets 0$
+			\For{$j = 1$ to $j = i-1$}
+				\State $sum \gets sum + y_i \cdot l_{ij}$
+			\EndFor
+			\State $y_i \gets \frac{b_i - sum}{l_{ii}}$
+		\EndFor
+    \end{algorithmic}
+\caption{TODO}
+\end{algorithm}
+
+\subsubsection*{(b)}
+\begin{algorithm}[H]
+    \begin{algorithmic}
+    \Require Matrix $A$, Vektor $b$
+	\Procedure{LoeseLGS}{$A$, $b$}
+    	\State $P, L, R \gets \Call{LRZer}{A}$
+		\State $b^* \gets P \cdot b$
+		\State $c \gets \Call{VorSub}{L, b^*}$
+		\State $x \gets \Call{RueckSub}{R, c}$
+		\State \Return $x$
+	\EndProcedure
+    \end{algorithmic}
+\caption{Löse ein LGS $Ax = b$}
+\end{algorithm}
+
+\subsection*{Teilaufgabe c)}
+Aufwand:
+\begin{itemize}
+\item Vorwärts-/Rückwärtssubstitution: jeweils $\frac{1}{2} \cdot n^2$
+\item LR-Zerlegung: $\frac{1}{3}n^3$
+\item gesamt: $\frac{1}{3}n^3+n^2$
+\end{itemize}

documents/Numerik/Klausur2/Aufgabe3.tex

@@ -0,0 +1,28 @@
+\section*{Aufgabe 3}
+\subsection*{Teilaufgabe a)}
+\begin{align}
+	L_0(x) &= - \frac{1}{6} \cdot (x^3 - 3 x^2 + 2x)\\
+	L_1(x) &= \frac{1}{2} \cdot (x^3 - 2x^2 - x + 2)\\
+	L_2(x) &= - \frac{1}{2} \cdot (x^3 - x^2 - 2x)\\
+	L_3(x) &= \frac{1}{6} \cdot (x^3 - x)
+\end{align}
+
+Damit ergibt sich:
+\begin{align}
+	p(x) &= x^3 + 2x^2 - 5x + 1
+\end{align}
+
+\subsection*{Teilaufgabe b)}
+Zunächst die dividierten Differenzen berechnen:
+\begin{align}
+	f[x_0] &= 7,           &f[x_1] &= 1,       & f[x_2] &= -1,     & f[x_3] = 7\\
+	f[x_0, x_1] &= -6,     &f[x_1, x_2] &= -2, &f[x_2, x_3] &= 8\\
+	f[x_0, x_1, x_2] &= 2, &f[x_1, x_2, x_3] &= 5\\
+	f[x_0, x_1, x_2, x_3] &= 1
+\end{align}
+
+Insgesamt ergibt sich also
+\begin{align}
+	p(x) &= 7 - (x+1) \cdot 6 + (x+1) \cdot x \cdot 2 + (x+1) \cdot x \cdot (x-1)
+\end{align}
+

documents/Numerik/Klausur2/Aufgabe4.tex

@@ -0,0 +1,52 @@
+\section*{Aufgabe 4}
+\subsection*{Teilaufgabe a)}
+\begin{enumerate}
+    \item Ordnung 3 kann durch geschickte Gewichtswahl erzwungen werden.
+    \item Ordnung 4 ist automatisch gegeben, da die QF symmetrisch sein soll.
+    \item Aufgrund der Symmetrie gilt Äquivalenz zwischen Ordnung 5 und 6. 
+          Denn eine hätte die QF Ordnung 5, so wäre wegen der 
+          Symmetrie Ordnung 6 direkt gegeben. Ordnung 6 wäre aber 
+          bei der Quadraturformel mit 3 Knoten das Maximum, was nur 
+          mit der Gauß-QF erreicht werden kann. Da aber $c_1 = 0$ gilt, 
+          kann es sich hier nicht um die Gauß-QF handeln. Wegen 
+          erwähnter Äquivalenz kann die QF auch nicht Ordnung 5 haben.
+\end{enumerate}
+
+Da $c_1 = 0$ gilt, muss $c_3 = 0$ sein. Und dann muss $c_2 = \frac{1}{2}$
+sein. Es müssen nun die Gewichte bestimmt werden um Ordnung 3 zu 
+garantieren mit:
+
+\begin{align}
+    b_i &= \int_0^1 L_i(x) \mathrm{d}x\\
+    b_1 &= \frac{1}{6},\\
+    b_2 &= \frac{4}{6},\\
+    b_4 &= \frac{1}{6}
+\end{align}
+
+\subsection*{Teilaufgabe b)}
+Als erstes ist festzustellen, dass es sich hier um die Simpsonregel handelt und die QF
+\begin{align}
+    \int_a^b f(x) \mathrm{d}x &= (b-a) \cdot \frac{1}{6} \cdot \left ( f(a) + 4 \cdot f(\frac{a+b}{2}) + f(b) \right )
+\end{align}
+
+ist. Wenn diese nun auf $N$ Intervalle aufgepflittet wird gilt folgendes:
+
+\begin{align}
+    \int_a^b f(x) \mathrm{d}x &= (b-a) \cdot \frac{1}{6} \cdot \left [ f(a) + f(b) + 2 \cdot \sum_{i=1}^{N-1} f(i \cdot \frac{1}{N}) + 4 \cdot \sum_{i=1}^N f(i \cdot \frac{1}{2N})\right ]
+\end{align}
+
+$\sum_{i=1}^{N-1} f(i \cdot \frac{1}{N})$  sind die Grenzknoten der Intervalle
+ (deshalb werden sie doppelt gezählt). Von den Grenzknoten gibt es 
+insgesamt $s-2$ Stück, da die tatsächlichen Integralgrenzen $a$ und $b$ 
+nur einmal in die Berechnung mit einfließen.
+
+$\sum_{i=1}^N f(i \cdot \frac{1}{2N})$ sind die jeweiligen 
+mittleren Knoten der Intervalle. Davon gibt es $s-1$ Stück.
+
+\begin{figure}[h]
+    \centering
+    \includegraphics*[width=\linewidth, keepaspectratio]{aufgabe4-b.png} 
+\end{figure}
+
+\subsection*{Teilaufgabe c)}
+TODO

documents/Numerik/Klausur2/Klausur2.tex

@@ -1,97 +1,48 @@
-\documentclass[a4paper]{article}
-
-\usepackage[english]{babel}
-\usepackage[utf8x]{inputenc}
-\usepackage{amsmath}
-\usepackage{graphicx}
-\usepackage[colorinlistoftodos]{todonotes}
-\usepackage{stmaryrd}
-\usepackage{parskip} % damit keine "unsinnigen" Einrückungen passieren
-
-\title{Musterlösungen für Numerik}
-\author{Felix Benz-Baldas}
+\documentclass[a4paper]{scrartcl}
+\usepackage{amssymb, amsmath} % needed for math
+\usepackage[utf8]{inputenc} % this is needed for umlauts
+\usepackage[ngerman]{babel} % this is needed for umlauts
+\usepackage[T1]{fontenc}    % this is needed for correct output of umlauts in pdf
+\usepackage{pdfpages}       % Signatureinbingung und includepdf
+\usepackage{geometry}       % [margin=2.5cm]layout
+\usepackage[pdftex]{hyperref}       % links im text
+\usepackage{color}
+\usepackage{framed}
+\usepackage{enumerate}      % for advanced numbering of lists
+\usepackage{marvosym}       % checkedbox
+\usepackage{wasysym}
+\usepackage{braket}         % for \Set{}
+\usepackage{pifont}% http://ctan.org/pkg/pifont
+\usepackage{gauss}
+\usepackage{algorithm,algpseudocode}
+\usepackage{parskip}
+\usepackage{lastpage}
+\allowdisplaybreaks
+
+\newcommand{\cmark}{\ding{51}}%
+\newcommand{\xmark}{\ding{55}}%
+
+\title{Numerik Klausur 2 - Musterlösung}
+\makeatletter
+\AtBeginDocument{
+	\hypersetup{ 
+	  pdfauthor   = {Felix Benz-Baldas, Martin Thoma, Peter},
+	  pdfkeywords = {Numerik, KIT, Klausur}, 
+	  pdftitle    = {\@title} 
+  	}
+	\pagestyle{fancy}
+	\lhead{\@title}
+	\rhead{Seite \thepage von \pageref{LastPage}}
+}
+\makeatother
+
+\usepackage{fancyhdr}
+\fancyfoot[C]{}
 
 \begin{document}
-\maketitle
-
-\section{Klausur 2}
-\subsection{Aufgabe 1}
-\subsubsection*{(a)}
-
-$
-L =
-\begin{pmatrix}
-2 & 0 & 0 \\
-1 & 2 & 0 \\
-4 & 2 & 3 \\
-\end{pmatrix}
-$
-
-
-\subsubsection*{(b)}
-gesucht: det(A)
-
-sei P * L = L * R, die gewohnte LR-Zerlegung
-
-dann gilt:
-
-$det(A) = det(L) * det(R) / det(P)$
-
-det(L) = 1, da alle Diagonalelemente 1 sind und es sich um eine untere Dreiecksmatrix handelt.
-
-$ det(R) = r_{11} * ... * r_{nn} $ da es sich um eine obere Dreiecksmatrix handelt.
-
-
-$ det(P) = $ 1 oder -1
-
-Das Verfahren ist also:
-\begin{enumerate}
-\item Berechne Restmatrix R mit dem Gaußverfahren.
-\item \label{manker} Multipliziere die Diagonalelemente von R
-\item falls die Anzahl an Zeilenvertauschungen ungerade ist negiere das Produkt aus \ref{manker} (eine Zeilenvertauschung verändert lediglich das Vorzeichen und P ist durch Zeilenvertauschungen aus der Einheitsmatrix hervorgegangen)
-\end{enumerate}
-
-\subsection{Aufgabe 2}
-\subsubsection*{(a)}
-Formel: $y_i = (b_i - \sum_{j=1}^{i-1} y_j \cdot l_{ij} ) \div l_{ii} $
-
-Anmerkung: $l_{ii}$ kann nicht $0$ sein, da L dann nicht mehr invertierbar wäre.
-
-Algorithmus:
-\begin{itemize}
-\item for i = 1 to i = n do
-\begin{itemize}
-\item sum = 0
-\item for j = 1 to j = i - 1 do
-\begin{itemize}
-\item sum = sum + $y_i \cdot l_{ij}$
-\end{itemize}
-\item od
-\item $y_i = (b_i - sum) \div l_{ii}$
-\end{itemize}
-\item od
-\end{itemize}
-
-\subsubsection*{(b)}
-\begin{itemize}
-\item function $ x = LoeseLGS(A,b)$
-\begin{itemize}
-\item $(P,L,R) = LRZer(A)$
-\item $b'=P \cdot b $
-\item $c = VorSub(L,b') $
-\item $x=RueckSub(R,c)$
-\end{itemize}
-\item end
-
-\end{itemize}
-
-
-\subsubsection*{(c)}
-Aufwand:
-\begin{itemize}
-\item Vorwärts-/Rückwärtssubstitution: jeweils $\frac{1}{2} \cdot n^2$
-\item LR-Zerlegung: $\frac{1}{3}n^3$ (den Beweis dazu braucht man nicht wissen)
-\item gesamt: $\frac{1}{3}n^3+n^2$
-\end{itemize}
-
+	\include{Aufgabe1}
+	\include{Aufgabe2}
+	\include{Aufgabe3}
+	\include{Aufgabe4}
+	\include{Aufgabe5}
 \end{document}