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@@ -490,21 +490,16 @@ Wenn $\pi_1(X,x) = \Set{e}$ für ein $x \in X$ gilt, dann wegen
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Überlagerungen sind surjektiv.
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\end{bemerkung}
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-\begin{beweis}durch Widerspruch\\
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- Sei $p$ eine Überlagerung.
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- \underline{Annahme}: $p$ ist nicht surjektiv
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- Dann $\exists x \in X$ mit $U=U(x): p^{-1}(U) = \emptyset$.
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- Da $p$ eine Überlagerung ist, existiert eine offene Umgebung $U$,
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- sodass $p^{-1}(U)$ eine disjunkte Vereinigung von offenen Teilmengen
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- $V_j \subseteq Y$ ist und $p|_{V_j}: V_j \rightarrow U$ ein
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- Homöomorphismus ist.
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-
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- Da jedes $x$ eine solche Umgebung $U$ besitzt, ist $U \neq \emptyset$.
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- Da $p|_{V_j}: V_j \rightarrow U$ ein Homöomorphismus ist, kann also
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- auch $V_j$ nicht leer sein. $\Rightarrow$ Widerspruch zur Annahme.
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- $\qed$
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+\begin{beweis}
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+ Sei $p: Y \rightarrow X$ eine Überlagerung und $x \in X$ beliebig.
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+ Dann existiert eine offene Umgebung $U(x) \subseteq X$ und offene
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+ Teilmengen $V_j \subseteq X$ mit
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+ $p^{-1}(U) = \Dcup V_j$ und
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+ $p|_{V_j}: V_j \rightarrow U$ ist Homöomorphismus.
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+
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+ D.~h. es existiert ein $y \in V_j$, so dass $p|_{V_j}(y) = x$.
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+ Da $x \in X$ beliebig war und ein $y \in Y$ existiert, mit
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+ $p(y) = x$, ist $p$ surjektiv. $\qed$
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\end{beweis}
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\begin{definition}\xindex{Abbildung!offene}
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Martin Thoma