Formulierung in Definitionen vereinfacht; Textsetzung

documents/GeoTopo/Abkuerzungen.tex

@@ -9,6 +9,7 @@
     \acro{d. h.}{das heißt}
     \acro{etc.}{et cetera}
     \acro{o. B. d. A.}{ohne Beschränkung der Allgemeinheit}
+    \acro{sog.}{sogenannte}
     \acro{Vor.}{Voraussetzung}
     \acro{vgl.}{vergleiche}
     \acro{z. B.}{zum Beispiel}

documents/GeoTopo/Arbeitszeit.md

@@ -71,3 +71,4 @@ in dem Erstellen dieses Skripts steckt:
 |07.02.2014 | 15:00 - 15:30 | Verbesserungen von Jérôme Urhausen, Email vom 08.02.2014, eingefügt.
 |07.02.2014 | 15:30 - 15:45 | Verbesserungen 
 |07.02.2014 | 19:30 - 21:20 | Textsetzung, kleine Fehler und Verbesserung eines Bildes
+|10.02.2014 | 10:30 - 11:05 | Formulierung in Definitionen vereinfacht; Textsetzung

documents/GeoTopo/Fragen/Fragen.tex

@@ -77,7 +77,7 @@ $\displaystyle \bigcup_{i \in \emptyset} U_i = \emptyset \in \fT$
 \begin{definition}\xindex{Knotendiagramm}%
     Ein \textbf{Knotendiagramm} eines Knotens $\gamma$ ist eine 
     Projektion $\pi: \mdr^3 \rightarrow E$ auf eine Ebene $E$, sodass
-    $|\pi^{-1}(x) \cap C| \leq 2$ für jedes $x \in D$, wobei $C = \gamma(S^1)$.
+    $|\pi^{-1}(x) \cap C| \leq 2$ für jedes $x \in {\color{red}D}$, wobei $C = \gamma(S^1)$.
 
     Ist ${\color{red}(\pi|C)}^{-1}(x) = \Set{y_1, y_2}$, so \textbf{liegt $y_1$ über $y_2$},
     wenn $(y_1-x) = \lambda (y_2 - x)$ für ein $\lambda > 1$ ist.
@@ -86,6 +86,24 @@ $\displaystyle \bigcup_{i \in \emptyset} U_i = \emptyset \in \fT$
 Sollte das jeweils $\pi|_C$ (sprich: \enquote{$\pi$ eingeschränkt auf $C$})
 sein?
 
+Was ist $D$? Ich vermute, das sollte $E$ sein.
+
+Ich würde die Definition eher so schreiben:
+
+\begin{definition}\xindex{Knotendiagramm}%
+    Sei $\gamma: [0,1] \rightarrow \mdr^3$ ein Knoten, $E$ eine Ebene und 
+    $\pi: \mdr^3 \rightarrow E$ eine Projektion auf $E$.
+
+    $\pi$ heißt \textbf{Knotendiagramm} von $\gamma$, wenn gilt:
+    \[\left | \left (\pi|_{\gamma([0,1])} \right )^{-1}(x) \right | \leq 2 \;\;\; \forall x \in E\]
+
+    Ist $(\pi|_{\gamma([0,1])})^{-1}(x) = \Set{y_1, y_2}$, so \textbf{liegt $y_1$ über $y_2$},
+    wenn gilt:
+    \[\exists \lambda > 1: (y_1-x) = \lambda (y_2 - x)\]
+\end{definition}
+
+Ist meine Definition äquivalent zu der aus der Vorlesung?
+
 \section*{5.) Isotopie/Knoten}
 \begin{definition}
     Zwei Knoten $\gamma_1, \gamma_2: S^1 \rightarrow \mdr^3$ heißen
@@ -159,7 +177,7 @@ hinzufügen, dass der Atlas $n$-dimensional sein soll?
 \end{definition}
 Gibt es ein Beispiel, das zegit, dass nicht $\fB = \fT$ gilt?
 
-\section{12.) $\Delta^2$ explizit}
+\section*{12.) $\Delta^2$ explizit}
 Wie sieht der Standard-Simplex der dim. 2, also $\Delta^2$, explizit
 notiert aus? Praktisch ist das ja die konvexe Hülle der Standard-Basisvektoren
 $e_0, e_1, e_2$ (also $\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$),
@@ -168,4 +186,60 @@ also ein Polyeder mit vier Flächen im $\mdr^3$ (jedoch kein regelmäßiges Tetr
 Das ist dann nur das Gitter dieses Polyeders, aber nicht die Flächen
 oder sogar etwas innerhalb vom Polyeder, oder?
 
-\end{document}
+\section*{13.) Normalenvektor}
+\begin{definition}%In Vorlesung: Definition 16.2
+    Sei $\gamma: I \rightarrow \mdr^2$ eine durch Bogenlänge
+    parametrisierte Kurve.
+
+    \begin{defenum}
+        \item Für $t \in I$ sei $n(t)$ \textbf{Normalenvektor}\xindex{Normalenvektor}
+              an $\gamma$ in $t$, d.~h.
+              \[\langle n(t), \gamma'(t) \rangle = 0, \;\;\; \|n(t)\|=1 \]
+              und $\det((\gamma_1(t), n(t))) = +1$
+        \item Nach \cref{bem:16.1d} sind $n(t)$ und $\gamma''(t)$ linear
+              abhängig, d.~h. es gibt $\kappa(t) \in \mdr$ mit
+              \[\gamma''(t) = \kappa(t) \cdot n(t)\]
+              $\kappa(t)$ heißt \textbf{Krümmung}\xindex{Krümmung}
+              von $\gamma$ in $t$.
+    \end{defenum}
+\end{definition}
+
+\begin{definition}%In Vorlesung: Def.+Bem. 16.4
+    Sei $\gamma: I \rightarrow \mdr^3$ eine durch Bogenlänge parametrisierte
+    Kurve.
+
+    \begin{defenum}
+        \item Für $t \in I$ heißt $\kappa(t) := \|\gamma''(t)\|$ die
+              \textbf{Krümmung}\xindex{Krümmung} von $\gamma$ in $t$.
+        \item Ist für $t \in I$ die Ableitung $\gamma''(t) \neq 0$,
+              so heißt $\gamma''(t)$ \textbf{Normalenvektor}\xindex{Normalenvektor}
+              an $\gamma$ in $t$.
+        \item \label{def:16.4c} $b(t)$ sei ein Vektor, der $\gamma'(t), n(t)$
+              zu einer orientierten Orthonormalbasis von $\mdr^3$ ergänzt.
+              Also gilt:
+              \[\det(\gamma'(t), n(t), b(t)) = 1\]
+              $b(t)$ heißt \textbf{Binormalenvektor}\xindex{Binormalenvektor},
+              die Orthonormalbasis 
+              \[\Set{\gamma'(t), n(t), b(t)}\]
+              heißt \textbf{begleitendes Dreibein}\xindex{Dreibein!begreitendes}.
+    \end{defenum}
+\end{definition}
+
+Die beiden Definitionen eins Normalenvektors / der Krümmung scheinen mir äquivalent zu sein.
+Warum haben wir beide? Ich würde die zweite bevorzugen.
+
+\section*{14.) Dimension von Simplizes}
+Gibt es 0-Dimensionale Simplizes?
+
+\section*{15.) Existenz der Parallelen}
+\begin{definition}%
+    \begin{enumerate}[label=§\arabic*),ref=§\arabic*,start=5]
+        \item \label{axiom:5}\textbf{Parallelenaxiom}\xindex{Parallele}:
+            Für jedes $g \in G$ und jedes
+            $P \in X \setminus g$ gibt es höchstens ein $h \in G$ mit
+            $h \cap g = \emptyset$. $h$ heißt \textbf{Parallele zu $g$ durch $P$}.
+    \end{enumerate}
+\end{definition}
+
+Soll hier wirklich \enquote{mindestens} stehen? Wie beweist man, dass es genau eine gibt?
+\end{document}

documents/GeoTopo/GeoTopo.sublime-project

@@ -0,0 +1,13 @@
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+		}
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+	{
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+	}
+}

documents/GeoTopo/GeoTopo.sublime-workspace

@@ -0,0 +1,368 @@
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+				"cha	Chapter"
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+				"tr",
+				"true"
+			]
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+		[
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+				"BracketHighlighter: Select Tag Name (closing and opening)"
+			],
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+				"BracketHighlighter: Jump to Left Bracket"
+			],
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+				"Package Control: Install Package"
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+			[
+				"package instal",
+				"Package Control: Install Package"
+			],
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+				"remov",
+				"Package Control: Remove Package"
+			],
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+				"Package Control: Install Package"
+			],
+			[
+				"package remo",
+				"Package Control: Remove Package"
+			],
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+				"GitHub Flavored Markdown: Preview"
+			],
+			[
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+				"GitHub Flavored Markdown: Preview"
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+				"Set Syntax: Markdown"
+			],
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+				"Markdown Preview: Github Flavored Markdown: Preview in Browser"
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+				"mark",
+				"Markdown Preview: Python Markdown: Preview in Browser"
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+				"Package Control: Install Package"
+			],
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+			],
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+				"Package Control: Install Package"
+			],
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+				"package control: insta",
+				"Package Control: Install Package"
+			],
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+				"package controll	",
+				"Package Control: Install Package"
+			],
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+				"Package Control: Install Package"
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+			"det",
+			"\\GL_n",
+			"lie-gru",
+			"section",
+			"dimensionale",
+			"Henriekes",
+			"torus",
+			"Torus",
+			"torus",
+			"Torus",
+			"Lenz",
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+			"{kompakt\n\\{K",
+			"{kompakt\n\\{ko",
+			"{kompakt\n\\{kompakt",
+			"{kompakt\n{kompakt",
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+}

documents/GeoTopo/Kapitel2.tex

@@ -1,3 +1,4 @@
+%!TEX root = GeoTopo.tex
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 % Henriekes Mitschrieb vom 07.11.2013                               %
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
@@ -106,7 +107,7 @@ Anschaulich ist also ein $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit lokal dem $\mdr^n$ ä
               \underline{Aber:} $X$ ist nicht hausdorffsch!
               Denn es gibt keine disjunkten Umgebungen von $0_1$ und
               $0_2$.
-        \item \xindex{Gruppe!allgemeine lineare}$\GL_n(\mdr)$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension 
+        \item \label{bsp:gln-ist-mf}\xindex{Gruppe!allgemeine lineare}$\GL_n(\mdr)$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension 
               $n^2$, weil offene Teilmengen von $\mdr^{n^2}$ eine
               Mannigfaltigkeit bilden.
     \end{bspenum}
@@ -251,8 +252,8 @@ $R_{+,0}^n$ ist ein \enquote{Halbraum}\xindex{Halbraum}.
 
 \begin{definition}\xindex{Rand}%
     Sei $X$ eine $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit mit Rand und
-    Atlas $(U_i, \varphi_i)$. Dann heißt 
-    \[\partial X := \bigcup_{i\in I} \Set{x \in U_i | \varphi_i (x)_n = 0}\]
+    Atlas $\atlas$. Dann heißt 
+    \[\partial X := \bigcup_{(U, \varphi) \in \atlas} \Set{x \in U | \varphi (x) = 0}\]
     \textbf{Rand} von $X$.
 \end{definition}
 
@@ -520,7 +521,9 @@ Differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Klasse $C^\infty$ werden auch
 \begin{beispiel}[Lie-Gruppen]
     \begin{bspenum}
         \item Alle endlichen Gruppen sind 0-dimensionale Lie-Gruppen.
-        \item $\GL_n(\mdr)$
+        \item $\GL_n(\mdr)$ 
+              % ist eine Lie-Gruppe, da sie nach \cref{bsp:gln-ist-mf} eine Mannigfaltigkeit ist.
+              % $\det: \GL_n \rightarrow \mdr$ ist eine stetige Abbildung.
         \item $(\mdr^\times, \cdot)$
         \item $(\mdr_{>0}, \cdot)$
         \item $(\mdr^n, +)$, denn $A \cdot B (i,j) = \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj}$ ist
@@ -549,7 +552,7 @@ Differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Klasse $C^\infty$ werden auch
 \end{beispiel}
 
 \begin{bemerkung}
-    Ist $G$ eine Lie-Gruppe, $g \in G$, so ist die Abbildung
+    Ist $G$ eine Lie-Gruppe und $g \in G$, so ist die Abbildung
     \begin{align*}
         l_g &: G \rightarrow G\\
         h  &\mapsto g \cdot h
@@ -562,9 +565,10 @@ Differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Klasse $C^\infty$ werden auch
 \begin{definition}\xindex{Lage!allgemeine}%
     Seien $v_0, \dots, v_k \in \mdr^n$ Punkte.\xindex{Punkt}
     \begin{defenum}
-        \item $v_0, \dots, v_k$ sind \textbf{in allgemeiner Lage} $\gdw$ es gibt keinen $(k-1)$-dimensionalen
-              affinen Untervektorraum, der $v_0, \dots, v_k$ enthält
-              \gdw $v_1 - v_0, \dots, v_k - v_0$ sind linear unabhängig.
+        \item $v_0, \dots, v_k$ sind \textbf{in allgemeiner Lage}\\
+        \hspace{\labelwidth}\phantom{--}$\gdw$ es gibt keinen $(k-1)$-dimensionalen
+              affinen Untervektorraum, der $v_0, \dots, v_k$ enthält\\
+        \hspace{\labelwidth}\phantom{--}$\gdw v_1 - v_0, \dots, v_k - v_0$ sind linear unabhängig.
         \item $\conv(v_0, \dots, v_k) := \Set{\sum_{i=0}^k \lambda_i v_i | \lambda_i \geq 0, \sum_{i=0}^k \lambda_i = 1} $
     \end{defenum}
 \end{definition}
@@ -581,11 +585,10 @@ Differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Klasse $C^\infty$ werden auch
               ein \textbf{$k$-Simplex}\xindex{Simplex} in $\mdr^n$.
         \item Ist $\Delta (v_0, \dots, v_k)$ ein $k$-Simplex und
               $I = \Set{i_0, \dots, i_r} \subseteq \Set{0, \dots, k}$,
-              so heißt $s_{i_0, \dots, i_r} := \conv(v_{i_0}, \dots, v_{i_r})$
+              so ist $s_{i_0, \dots, i_r} := \conv(v_{i_0}, \dots, v_{i_r})$
+              ein $r$-Simplex und heißt
               \textbf{Teilsimplex}\xindex{Teilsimplex} oder \textbf{Seite}\xindex{Seite}
-              von $\Delta$. 
-
-              $s_{i_0, \dots, i_r}$ ist $r$-Simplex.
+              von $\Delta$.
     \end{defenum}
 \end{definition}
 
@@ -623,17 +626,17 @@ Differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Klasse $C^\infty$ werden auch
               wenn gilt:
             \begin{enumerate}[label=(\roman*),ref=\theenumii.\roman*]
                 \item Für $\Delta \in K$ und $S \subseteq \Delta$ Teilsimplex
-                      ist $S \in K$
-                \item Für $\Delta_1, \Delta_2 \in K$ ist 
+                      ist $S \in K$.
+                \item \label{def:simplizialkomplex.ii} Für $\Delta_1, \Delta_2 \in K$ ist 
                       $\Delta_1 \cap \Delta_2$ leer oder ein 
                         Teilsimplex von $\Delta_1$ und von 
-                      $\Delta_2$ \label{def:simplizialkomplex.ii}
+                      $\Delta_2$. 
             \end{enumerate}
         \item $|K| := \bigcup_{\Delta \in K} \Delta$ (mit Teilraumtopologie)
               heißt \textbf{geometrische Realisierung}\xindex{Realisierung!geometrische}
               von $K$.
-        \item Ist $d = \max \Set{ k | K \text{ enthält } k-\text{Simplex}}$,
-              so heißt $d$ \textbf{Dimension}\xindex{Dimension} von
+        \item Ist $d = \max \Set{ k \in \mdn | K \text{ enthält } k\text{-Simplex}}$,
+              so heißt $d$ die \textbf{Dimension}\xindex{Dimension} von
               $K$.
     \end{enumerate}
 \end{definition}
@@ -957,5 +960,21 @@ Differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Klasse $C^\infty$ werden auch
     \end{align*}
 \end{beweis}
 
+% \section{Retraktionen}
+% \begin{definition}%
+%     Sei $X$ ein topologischer Raum, $A \subseteq X$, $r: X \rightarrow A$ eine stetige Abbildung
+%     und $\iota: A \hookrightarrow X$ die Inklusionsabbildung.
+
+%     \begin{defenum}
+%         \item $r$ heißt \textbf{Retraktion}\xindex{Retraktion}, wenn $r|_A = \id_A$ ist.
+%         \item $A$ heißt \textbf{Deformationsretrakt}\xindex{Deformationsretrakt}, wenn es eine Retraktion $r$
+%               auf $A$ mit $\iota  \circ r \sim \id_X$ gibt.
+%     \end{defenum}
+% \end{definition}
+
+% \begin{bemerkung}
+% Übungsblatt 7 + 8
+% \end{bemerkung}
+
 % Die Übungsaufgaben sollen ganz am Ende des Kapitels sein.
 \input{Kapitel2-UB}

documents/GeoTopo/Kapitel3.tex

@@ -1,3 +1,4 @@
+%!TEX root = GeoTopo.tex
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 % Mitschrieb vom 03.12.2013                                         %
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
@@ -753,10 +754,10 @@ $p|_{V_j}: V_j \rightarrow U$ Homöomorphismus.
               Für geschlossene Wege $\gamma_0, \gamma_1$ um $x$ gilt:
 
               \begin{align*}
-                \tilde{\gamma_0}(1) &= \tilde{\gamma_1}(1)\\
-                \Leftrightarrow [\tilde{\gamma_0} * \tilde{\gamma_1}^{-1}] &\in \pi_1(Y, y_0)\\
-                \Leftrightarrow [\gamma_0 * \gamma_1^{-1}] &\in p_* (\pi_1(Y,y_0))\\
-                \Leftrightarrow [\gamma_0] \text{ und } [\gamma_1] &\text{liegen in der selben Nebenklasse bzgl.} p_*(\pi_1(Y, y_0))
+                &\tilde{\gamma_0}(1) = \tilde{\gamma_1}(1)\\
+                \Leftrightarrow &[\tilde{\gamma_0} * \tilde{\gamma_1}^{-1}] \in \pi_1(Y, y_0)\\
+                \Leftrightarrow &[\gamma_0 * \gamma_1^{-1}] \in p_* (\pi_1(Y,y_0))\\
+                \Leftrightarrow &[\gamma_0] \text{ und } [\gamma_1] \text{liegen in der selben Nebenklasse bzgl. } p_*(\pi_1(Y, y_0))
               \end{align*}
 
               Zu $i \in \Set{0, \dots, d-1}$ gibt es Weg $\delta_i$ in
@@ -914,17 +915,18 @@ der folgende Satz:
     Widerspruch.
 \end{beweis}
 
-\begin{definition}\xindex{Decktransformation}%In Vorlesung: Def+Bem 12.14
+\begin{definition}\xindex{Decktransformation}\xindex{Decktransformation!reguläre}%In Vorlesung: Def+Bem 12.14
     Es sei $p:Y \rightarrow X$ eine Überlagerung und $f:Y \rightarrow Y$
     ein Homöomorphismus.
 
-    $f$ heißt \textbf{Decktransformation} von $p :\gdw p \circ f = p$.
-
-    Ist $p$ eine Decktransformation und $|\Deck(Y/X)| = \deg{p}$,
-    so heißt $p$ \textbf{regulär}.\xindex{Decktransformation!reguläre}
+    \begin{defenum}
+        \item $f$ heißt \textbf{Decktransformation} von $p :\gdw p \circ f = p$.
+        \item Ist $p$ eine Decktransformation und $|\Deck(Y/X)| = \deg{p}$,
+              so heißt $p$ \textbf{regulär}.
+    \end{defenum}
 \end{definition}
 
-\begin{bemerkung}%In Vorlesung:12.14
+\begin{bemerkung}[Eigenschaften der Decktransformation]%In Vorlesung:12.14
     \begin{bemenum}
         \item Die Decktransformationen von $p$ bilden eine Gruppe, 
               die sog. \textbf{Decktransformationsgruppe}\xindex{Decktransformationsgruppe}

documents/GeoTopo/Kapitel4.tex

@@ -144,12 +144,14 @@ aufgestellt.
                       \textbf{Halbebenen}\xindex{Halbebene} bzgl. 
                       $g$.
             \end{enumerate}
-        \item \label{axiom:4}\textbf{Bewegungsaxiom}\xindex{Bewegungsaxiom}: Zu $P, Q, P', Q' \in X$
+        \item \label{axiom:4}\textbf{Bewegungsaxiom}\xindex{Bewegungsaxiom}: 
+            Zu $P, Q, P', Q' \in X$
             mit $d(P,Q) = d(P', Q')$ gibt es mindestens 2 Isometrien $\varphi_1, \varphi_2$
             mit $\varphi_i (P) = P'$ und $\varphi_i(Q) = Q', i=1,2$\footnote{Die \enquote{Verschiebung} von $P'Q'$ nach $PQ$ und die Isometrie, die zusätzlich an der Gerade durch $P$ und $Q$ spiegelt.}
-        \item \label{axiom:5}\textbf{Parallelenaxiom}: Für jedes $g \in G$ und jedes
+        \item \label{axiom:5}\textbf{Parallelenaxiom}\xindex{Parallele}:
+            Für jedes $g \in G$ und jedes
             $P \in X \setminus g$ gibt es höchstens ein $h \in G$ mit
-            $h \cap g = \emptyset$.\footnote{$h$ heißt \enquote{Parallele zu $g$ durch $P$}.}
+            $h \cap g = \emptyset$. $h$ heißt \textbf{Parallele zu $g$ durch $P$}.
     \end{enumerate}
 \end{definition}
 
@@ -252,7 +254,7 @@ schneiden sich.
 
     \underline{1. Fall}: $Q$ und $B$ liegen in derselben Halbebene bzgl. $PA$
 
-    $\overset{\cref{kor:beh3}}{\Rightarrow} PB^+ \cap \overline{AQ} \neq \emptyset$.
+    $\xRightarrow{\crefabbr{kor:beh3}} PB^+ \cap \overline{AQ} \neq \emptyset$.
 
     Sei $C$ der Schnittpunkt vom $PB$ und $AQ$.
 
@@ -529,7 +531,7 @@ Halbebene bzgl. $PQ$ liegt wie $R$.
     ist in jedem Dreieck die Summe der Innenwinkel $\leq \pi$.
 \end{proposition}
 
-Sei im Folgenden \enquote{IWS} die \enquote{Innenwinkelsumme}.
+Sei im Folgenden \enquote{$\IWS$} die \enquote{Innenwinkelsumme}.
 
 \begin{beweis}
     Sei $\triangle$ ein Dreieck mit $\IWS(\triangle) = \pi + \varepsilon$

documents/GeoTopo/Vorwort.tex

@@ -1,3 +1,4 @@
+%!TEX root = GeoTopo.tex
 \chapter*{Vorwort}
 Dieses Skript wird/wurde im Wintersemester 2013/2014
 von Martin Thoma geschrieben. Es beinhaltet die Mitschriften aus