LaTeX-examples/documents/GeoTopo/Kapitel1-UB.tex

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\section*{Übungsaufgaben}
\addcontentsline{toc}{section}{Übungsaufgaben}

\begin{aufgabe}[Sierpińskiraum]\label{ub:aufg1}
    Es sei $X := \Set{0,1}$ und $\fT_X := \Set{\emptyset, \Set{0}, X}$.
    Dies ist der sogenannte Sierpińskiraum.
    \begin{enumerate}[label=(\alph*)]
        \item Beweisen Sie, dass $(X, \fT_X)$ ein topologischer Raum ist.
        \item Ist $(X, \fT_X)$ hausdorffsch?
        \item Ist $\fT_X$ von einer Metrik erzeugt?
    \end{enumerate}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}\label{ub:aufg4}
    Es sei $\mdz$ mit der von den Mengen $U_{a,b} := a + b \mdz (a \in \mdz, b \in \mdz \setminus \Set{0})$
    erzeugten Topologie versehen.

    Zeigen Sie:
    \begin{enumerate}[label=(\alph*)]
        \item Jedes $U_{a,b}$ und jede einelementige Teilmenge von $\mdz$ ist abgeschlossen.
        \item Die $U_{a,b}$ bilden eine Basis der Topologie.
        \item $\Set{-1, 1}$ ist nicht offen.
        \item Es gibt unendlich viele Primzahlen.
    \end{enumerate}
\end{aufgabe}