LaTeX-examples/documents/mathe-reis/Reis-Exponentielles-Wachstumsverhalten.tex

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\setcounter{tocdepth}{2}

\begin{document}
 \title{Blutabnahme}
 \author{Martin Thoma}

 \setcounter{section}{1}
 \section*{Aufgabenstellung}
    Der Kaiser von China spielt mit einem Bauern Schach. Nachdem er das Spiel 
    verloren hat, ist der Kaiser großzügig und will dem Bauern jeden Wunsch 
    erfüllen. Der Bauer gibt sich bescheiden und verlagt für das erste 
    Schachfeld ein Reiskorn, für das zweite zwei Reiskörner, usw. \\
    Allgemein verlangt er für jedes Schachfeld doppelt so viele Reiskörner
    wie für das Vorhergehende.\\
    \\
    Wieviel Reis muss der Kaiser von China abtreten?
 \subsection*{Nummerische Lösung}
    Ein Schachbrett hat $8 \cdot 8 = 64$ Felder. Für das $i$-te Feld, 
    $1 \le i \le 64$, muss der Kaiser $2^{i-1}$ Reiskörner abgeben. \\
    Insgesamt muss er also $\sum_{i=1}^{64} 2^{i-1}$ Reiskörner abgeben.\\
    Das sind 
    $2^{64} - 1 = 18446744073709551615 \approx 1{,}84 \cdot 10^{19} $ 
    Reiskörner. 
 \subsection*{Vergleiche}
    Wie viel sind 18.446.744.073.709.551.615 Reiskörner?\\

  \subsubsection{Erdabdeckung}
    Würde man die Erde gleichmäßig mit Reiskörnern abdecken, wie hoch wäre diese
    Schicht?\\
    \\
    Die Erde hat eine Oberfläche von ca. 510 Millionen $\text{km}^2$, ein Basmati-Reiskorn
    ist ca 6,5 mm lang, hat einen Durchmesser von ca. 1,5 mm und hat vereinfacht 
    eine Kreiszylinderform.\\
    Daraus ergibt sich folgende Gleichung, bei der x die Höhe der Reisschicht 
    ist:\\
    \begin{align}
        x \cdot A_{Erde} &= (2^{64}-1) \cdot 6,5\text{mm} \cdot (1,5\text{mm})^2 \cdot \pi \\
        x &= \frac{(2^{64}-1) \cdot 6,5\text{mm} \cdot (1,5\text{mm})^2 \cdot \pi}{A_{Erde}} \\
        x &= \frac{(2^{64}-1) \cdot 45,9458\text{mm}^3}{510 \cdot 10^6 \cdot 10^{12} \text{mm}^2} \\
        x &= \frac{8,47550 \cdot 10^{20} \text{mm}^3}{510 \cdot 10^{18} \text{mm}^2} \\
        x &= 1,662\text{mm}
    \end{align}
    Die Erde könnte also komplett mit ca. 1,662 mm Reis, also etwas mehr als 
    einem Reiskorn, bedeckt werden.\\
    \\
    \subsubsection{Reispackungen}
    Den vorhergehenden Vergleich finde ich noch etwas unpraktisch. Wieviele Reispackungen 
    wären das? \\
    Eine handelsübliche Packung Reis beinhaltet ca. 1 kg Reis. Ein Reiskorn 
    wiegt ca. 65 mg.\\
    \begin{align}
        x &:= \text{Reispackungen} \\
        x \cdot 1\text{kg}     &= 65\text{mg} \cdot (2^{64}-1) \\
        x \cdot 10^6\text{mg} &= 1199038364791120854975\text{mg} \\
        x &\approx 1,2 \cdot 10^{15}
    \end{align}
  \subsubsection{Reispackungen pro Person}
    Auch $1,2 \cdot 10^{15}$ ist noch zu groß, um sich etwas darunter vorstellen 
    zu können.\\
    Wie viele Reispackungen wären das pro Person auf der Erde?\\
    \begin{align}
        x &:= \text{Reispackungen pro Mensch} \\
        x &= \frac{1,2 \cdot 10^{15}}{6,93 \cdot 10^9} \\
        x &\approx 1,7 \cdot 10^5
    \end{align}
    Jeder Mensch würde also 170.000 Packungen Reis von Kaiser von China bekommen.
    Um den täglichen Kalorienbedarf zu decken werden ca. 1,1 kg Reis benötigt.
    Es könnten also alle Menschen der Erde ca. 154.545 Tage, das sind über 423 
    Jahre, ernährt werden!\\
  \subsubsection{Marktwert}
    Reis kostet auf dem Weltmarkt ca. 600 US-Dollar pro metrischer Tonne\footnote{http://www.markt-daten.de/charts/imf/imf014.htm . Daten von 2010. Abgerufen am 8. Mai 2011.}.
    \begin{align}
        x &:= \text{Marktwert} \\
        x &= \frac{1,2 \cdot 10^{15}}{1000} \cdot 600 \text{ US-Dollar}\\
        x &= 720000000000000
    \end{align}
    Der Reis hätte also einen Marktwert von 720 Billionen US-Dollar. \\
    Zum Vergleich: Das BIP der
    gesamten Welt, also die Summe der Werte aller Güter und Dienstleistung, lag
    2007 bei ca. 54 Billionen US-Dollar\footnote{http://www.bpb.de/wissen/I6PFEV,0,WeltBruttoinlandsprodukt.html . Daten von 2007. Abgerufen am 8. Mai 2011.}.
\end{document}