LaTeX-examples/documents/GeoTopo/Vorwort.tex

\chapter*{Vorwort}
Dieses Skript wird/wurde im Wintersemester 2013/2014 geschrieben.
Es beinhaltet Vorlesungsnotizen von Studenten zur Vorlesung von
Prof. Dr. Herrlich.

Es darf jeder gerne Verbesserungen einbringen!

Die Kurz-URL des Projekts lautet \href{http://tinyurl.com/GeoTopo}{tinyurl.com/GeoTopo}.

An dieser Stelle möchte ich noch Herrn Prof. Dr. Herrlich 
für einige Korrekturvorschläge und einen gut strukturierten 
Tafelanschrieb danken, der als Vorlage für dieses Skript diente.
Vielen Dank auch an Frau Lenz und Frau Randecker, die es mir erlaubt 
haben, ihre Übungsaufgaben und Lösungen zu benutzen.


\section*{Was ist Topologie?}

Die Kugeloberfläche $S^2$ lässt sich durch strecken, stauchen
und umformen zur Würfeloberfläche oder
der Oberfläche einer Pyramide verformen, aber nicht zum $\mdr^2$
oder zu einem Torus $T^2$. Für den $\mdr^2$ müsste man die Oberfläche
unendlich ausdehnen und für einen Torus müsste man ein Loch machen.

\begin{figure}[ht]
    \centering
    \subfloat[$S^2$]{
        \input{figures/s2.tex}
        \label{fig:s2}
    }%
    \subfloat[Würfel]{
        \input{figures/cube.tex}
        \label{fig:cube}
    }%
    \subfloat[Pyramide]{
        \input{figures/pyramid.tex}
        \label{fig:pyramide}
    }

    \subfloat[$\mdr^2$]{
        \input{figures/plane-r2.tex}
        \label{fig:plane-r2}
    }%
    \subfloat[$T^2$]{
        \input{figures/torus.tex} \xindex{Torus}
        \label{fig:torus}
    }
    \label{Formen}
    \caption{Beispiele für verschiedene Formen}
\end{figure}

\section*{Erforderliche Vorkenntnisse}
Es wird ein sicherer Umgang mit den Quantoren ($\forall, \exists$),
Mengenschreibweisen ($\cup, \cap, \setminus, \emptyset, \mdr, \powerset{M}$)
und ganz allgemein formaler Schreibweise vorausgesetzt. Diese 
Vorkenntnisse werden vor allem in \enquote{Analysis I} vermittelt.

Außerdem wird vorausgesetzt, dass das Konzept der linearen Unabhängigkeit
und und der projektive Raum $\praum(\mdr)$ aus \enquote{Lineare Algebra I}
bekannt sind.