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- \section*{Aufgabe 2}
- \subsection*{Teilaufgabe i}
- Es gilt:
- \begin{align}
- 2x - e^{-x} &= 0\\
- \Leftrightarrow 2x &= e^{-x}\\
- \end{align}
- Offensichtlich ist $g(x) := 2x$ streng monoton steigend und $h(x) := e^{-x}$ streng
- monoton fallend.
- Nun gilt: $g(0) = 0 < 1 = e^0 = h(0)$. Das heißt, es gibt keinen
- Schnittpunkt für $x \leq 0$.
- Außerdem: $g(1) = 2$ und $h(1) = e^{-1} = \frac{1}{e} < 2$.
- Das heißt, für $x \geq 1$ haben $g$ und $h$ keinen Schnittpunkt.
- Da $g$ und $h$ auf $[0,1]$ stetig sind und $g(0) < h(0)$ sowie $g(1) > h(1)$
- gilt, müssen sich $g$ und $h$ im Intervall mindestens ein mal schneiden.
- Da beide Funktionen streng monoton sind, schneiden sie sich genau
- ein mal.
- Ein Schnittpunkt der Funktion $g,h$ ist äquivalent zu einer
- Nullstelle der Funktion $f$. Also hat $f$ genau eine Nullstelle
- und diese liegt in $[0,1]$.
- \subsection*{Teilaufgabe ii}
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