LaTeX-examples/documents/GeoTopo/Kapitel1.tex

\chapter{Topologische Grundbegriffe}
\section{Vorgeplänkel}
    Die Kugeloberfläche $S^2$ lässt sich durch strecken, stauchen
    und umformen zur Würfeloberfläche oder
    der Oberfläche einer Pyramide verformen, aber nicht zum $\mdr^2$
    oder zu einem Torus. Für den $\mdr^2$ müsste man die Oberfläche
    unendlich ausdehnen und für einen Torus müsste man ein Loch machen.

    \begin{figure}[ht]
        \centering
        \subfigure[$S^2$]{
            \input{figures/s2.tex}
            \label{fig:s2}
        }%
        \subfigure[Würfel]{
            \input{figures/cube.tex}
            \label{fig:cube}
        }%
        \subfigure[Pyramide]{
            \input{figures/pyramid.tex}
            \label{fig:pyramide}
        }

        \subfigure[$\mdr^2$]{
            \input{figures/plane-r2.tex}
            \label{fig:pyramide}
        }%
        \subfigure[Torus]{
            \input{figures/torus.tex} \xindex{Torus}
            \label{fig:torus}
        }
        \label{Formen}
        \caption{Beispiele für verschiedene Formen}
    \end{figure}

\section{Topologische Räume}
\begin{definition} \xindex{Raum!topologischer} \xindex{offen} \xindex{abgeschlossen}
    Ein \textbf{topologischer Raum} ist ein Paar $(X, \fT)$ bestehend
    aus einer Menge $X$ und $\fT \subseteq \powerset{X}$ mit
    folgenden Eigenschaften
    \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
        \item $\emptyset, X \in \fT$
        \item Sind $U_1, U_2 \in \fT$, so ist $U_1 \cap U_2 \in \fT$
        \item Ist $I$ eine Menge und $U_i \in \fT$ für jedes $i \in I$,
              so ist $\displaystyle \bigcup_{i \in I} U_i \in \fT$
    \end{enumerate}
    Die Elemente von $\fT$ heißen \textbf{offene Teilmengen} von $X$. 

    $A \subseteq X$ heißt \textbf{abgeschlossen}, wenn $X \setminus A$ offen ist.

\end{definition}

Es gibt auch Mengen, die weder abgeschlossen, noch offen sind wie z.~B. $[0,1)$.
Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.

\begin{korollar}[Mengen, die offen und abgeschlossen sind, existieren]
    Betrachte $\emptyset$ und $X$ mit der \enquote{trivialen Topologie}
    \xindex{Topologie!triviale} $\fT_\text{triv} = \Set{\emptyset, X}$.

    Es gilt: $X \in \fT$ und $\emptyset \in \fT$, d.~h. $X$ und $\emptyset$
    sind offen. Außerdem $X^C = X \setminus X = \emptyset \in \fT$
    und $X \setminus \emptyset = X \in \fT$, d.~h. $X$ und $\emptyset$
    sind als Komplement offener Mengen abgeschlossen.$\qedwhite$
\end{korollar}

\begin{beispiel}
    \begin{enumerate}[label=\arabic*)]
        \item $X = \mdr^n$ mit der euklidischen Metrik.\\ \xindex{Topologie!euklidische}
              $U \subseteq \mdr^n$ offen $\gdw$ für jedes $x \in U$ 
              gibt es $r > 0$, sodass $B_r(x) = \Set{y \in \mdr^n | d(x,y) < r} \subseteq U$\\
              Also: $\fT = \Set{M \subseteq X | M \text{ ist offene Kugel}}$
        \item Allgemeiner: $(X, d)$ metrischer Raum
        \item $X$ Menge, $\fT = \powerset{X}$ heißt \enquote{diskrete Topologie} \xindex{Topologie!diskrete}
        \item $X :=\mdr, \fT_Z := \Set{U \subseteq \mdr | \mdr \setminus U \text{ endlich}} \cup \Set{\emptyset}$ heißt \enquote{Zariski-Topologie} \xindex{Topologie!Zariski}\\
              Beobachtungen: 
            \begin{itemize}
                \item $U \in \fT_Z \gdw \exists f \in \mdr[X]$, sodass $\mdr \setminus U = V(f) = \Set{x \in \mdr | f(x) = 0}$
                \item Es gibt keine disjunkten offenen Mengen in $\fT_Z$
            \end{itemize}
        \item $X := \mdr^n, \fT_Z = \{U \subseteq \mdr^n | \text{Es gibt Polynome } f_1, \dots, f_r \in \mdr[X_1, \dots, X_n] \text{ sodass }\\\mdr^n \setminus U = V(f_1, \dots, f_r)\}$
        \item $X := \Set{0,1}, \fT = \Set{\emptyset, \Set{0,1}, \Set{0}}$ heißt \enquote{Sierpińskiraum}.\xindex{Sierpińskiraum}\\
              abgeschlossene Mengen: $\emptyset, \Set{0,1}, \Set{1}$
    \end{enumerate}
\end{beispiel}

\begin{definition} \xindex{Umgebung}
    Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum, $x \in X$.

    Eine Teilmenge $U \subseteq X$ heißt \textbf{Umgebung} von $x$,
    wenn es ein $U_0 \in \fT$ gibt mit $x \in U_0$ und $U_0 \subseteq U$.
\end{definition}

\begin{definition}
    Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum, $M \subseteq X$ eine Teilmenge.
    \begin{enumerate}[label=\alph*)]
        \item $\displaystyle M^\circ := \Set{x \in M | M \text{ ist Umgebung von } x} = \bigcup_{\stackrel{U \subseteq M} {U \in \fT}} U $ heißt \textbf{Inneres} oder \textbf{ offener Kern} von $M$. \xindex{Inneres} \xindex{Kern!offener}
        \item $\displaystyle \overline{M} := \bigcap_{\stackrel{M \subseteq A}{A \text{ abgeschlossen}}} A$ heißt \textbf{abgeschlossene Hülle} oder \textbf{Abschluss} von $M$. \xindex{Abschluss}
        \item $\partial M := \overline{M} \setminus M^\circ$ heißt \textbf{Rand} von $M$. \xindex{Rand}
        \item $M$ heißt \textbf{dicht} in $X$, wenn $\overline{M} = X$ ist. \xindex{dicht}
    \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{beispiel}
    \begin{enumerate}[label=\arabic*)]
        \item $X = \mdr$ mit euklidischer Topologie\\
              $M = \mdq \Rightarrow \overline{M} = \mdr, \;\;\; M^\circ = \emptyset$
        \item $X = \mdr$, $M=(a,b) \Rightarrow \overline{M} = [a,b]$
        \item $X = \mdr, \fT = \fT_Z$\\
              $M = (a,b) \Rightarrow \overline{M} = \mdr$
    \end{enumerate}
\end{beispiel}

\begin{definition} \xindex{Basis} \xindex{Subbasis}
    Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum.
    \begin{enumerate}[label=\alph*)]
        \item $\fB \subseteq \fT$ heißt \textbf{Basis} der Topologie $\fT$,
              wenn jedes $U \in \fT$ Vereinigung von Elementen aus $\fB$
              ist.
        \item $\fB \subseteq \fT$ heißt \textbf{Subbasis}, wenn jedes
              $U \in \fT$ Vereinigung von endlich vielen Durchschnitten
              von Elementen aus $\fB$ ist.
    \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{beispiel}
    Gegeben sei $X = \mdr^n$ mit euklidischer Topologie $\fT$. Dann ist
    \[\fB = \Set{B_r(x) | r \in \mdq_{> 0}, x \in \mdq^n}\]
    ist eine abzählbare Basis von $\fT$.
\end{beispiel}

\begin{bemerkung}
    Sei $X$ eine Menge und $\fB \subseteq \powerset{X}$. Dann gibt es
    genau eine Topologie $\fT$ auf $X$, für die $\fB$ Subbasis ist.
\end{bemerkung}

\begin{definition} \xindex{Spurtopologie} \xindex{Teilraum}
    Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum, $Y \subseteq X$.\\
    $\fT_Y := \Set{U \cap Y | U \in \fT}$ ist eine Topologie auf $Y$.

    $\fT_Y$ heißt \textbf{Spurtopologie} und $(Y, \fT_Y)$ heißt ein 
    \textbf{Teilraum} von $(X, \fT)$
\end{definition}

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% Mitschrieb vom 24.10.2013                                         %
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\begin{definition} \xindex{Produkttopologie}
    Seien $X_1, X_2$ topologische Räume.\\
    $U \subseteq X_1 \times X_2$ sei offen, wenn es zu jedem $x = (x_1, x_2) \in U$
    Umgebungen $U_i$ um $x_i$  mit $i=1,2$ gibt, sodass $U_1 \times U_2 \subseteq U$
    gilt.

    $\fT = \Set{U \subseteq X_1 \times X_2 | U \text{ offen}}$
    ist eine Topologie auf $X_1 \times X_2$. Sie heißt \textbf{Produkttopologie}.
    $\fB = \Set{U_1 \times U_2 | U_i \text{ offen in } X_i, i=1,2}$
    ist eine Basis von $\fT$.
\end{definition}

\begin{figure}[htp]
    \centering
    \input{figures/neighbourhood-topology}
    \caption{Zu $x=(x_1, x_2)$ gibt es Umgebungen $U_1, U_2$ mit $U_1 \times U_2 \subseteq U$}
\end{figure}

\begin{beispiel}
    \begin{enumerate}[label=\arabic*)]
        \item $X_1 = X_2 = \mdr$ mit euklidischer Topologie.\\
              $\Rightarrow$ Die Produkttopologie auf $\mdr \times \mdr = \mdr^2$
              stimmt mit der euklidischen Topologie auf $\mdr^2$ überein.
        \item $X_1 = X_2 = \mdr$ mit Zariski-Topologie.
              $\fT$ Produkttopologie auf $\mdr^2$: $U_1 \times U_2$\\
              (Siehe Abb. \ref{fig:zariski-topologie})
    \end{enumerate}

    \begin{figure}[htp]
        \centering
        \input{figures/zariski-topology}
        \caption{Zariski-Topologie auf $\mdr^2$}
        \label{fig:zariski-topologie}
    \end{figure}
\end{beispiel}

\begin{definition} \xindex{Quotiententopologie}
    Sei $X$ topologischer Raum, $\sim$ eine Äquivalenzrelation auf $X$,
    $\overline{X} = X /_\sim$ sei die Menge der Äquivalenzklassen,
    $\pi: x \rightarrow \overline{x}, \;\;\; x \mapsto [x]_\sim$,
    $U \subseteq \overline{X}$ heißt offen, wenn $\pi^{-1} (U) \subseteq X$
    offen ist. Dadurch wird eine Topologie auf $\overline{X}$ definiert.
    Diese Topologie heißt \textbf{Quotiententopologie}.
\end{definition}

\begin{beispiel}
    $X = \mdr, a \sim b :\Leftrightarrow a-b \in \mdz$
    
    \input{figures/number-ray-circle-topology}

    $0 \sim 1$, d.~h. $[0] = [1]$
\end{beispiel}

\begin{beispiel}
    \begin{align*}
        X = \mdr^2, (x_1, y_1) \sim (x_2, y_2) \Leftrightarrow &x_1 - x_2 \in \mdz\\
                                                   &y_1 - y_2 \in \mdz
    \end{align*}
    $X /_\sim$ ist ein Torus.
\end{beispiel}

\begin{beispiel}
    \begin{align*}
        X= \mdr^{n-1} \setminus \Set{0}, x \sim y &\gdw \exists \lambda \in \mdr^\times \text{ mit } y = \lambda x\\
            &\gdw x \text{ und } y \text{ liegen auf der gleichen Ursprungsgerade}
    \end{align*}
    \[\overline{X} = \mathbb{P}^n(\mdr)\]
    Also für $n=1$:\nopagebreak\\
    \input{figures/ursprungsgeraden}
\end{beispiel}

\section{Metrische Räume}
\begin{definition} \xindex{Metrik} \xindex{Raum!metrischer}
    Sei $X$ eine Menge. Eine Abbildung $d:X\times X \rightarrow \mdr$
    heißt \textbf{Metrik}, wenn gilt:
    \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
        \item $\forall x, y \in X: d(x,y) \geq 0$
        \item $d(x,y) = 0 \gdw x = y$
        \item $d(x,y) = d(y,x)$
        \item $d(x,z) \leq d(x,y) + d(x+z)$
    \end{enumerate}

    Das Paar $(X, d)$ heißt ein \textbf{metrischer Raum}.
\end{definition}

\begin{bemerkung}
    Sei $(X, d)$ ein metrischer Raum und
    \[\fB_r(x) := \Set{y \in X | d(x,y) < r} \text{ für } x \in X, r \in \mdr^+\]
    $\fB$ ist Basis einer Topologie auf $X$.
\end{bemerkung}

\begin{beispiel}
    Sei $V$ ein euklidischer oder hermiteischer Vektorraum mit Skalarprodukt
    $\langle \cdot , \cdot \rangle$.
    Dann wird $V$ durch $d(x,y) := \sqrt{\langle x-y, x-y \rangle}$ zum metrischen Raum.
\end{beispiel}

\begin{beispiel}[diskrete Metrik] \xindex{Metrik!diskrete} \xindex{Topologie!diskrete}
    Sei $X$ eine Menge. Dann heißt
    \[d(x,y) = \begin{cases}
    0 & \text{falls } x=y\\
    1 & \text{falls } x \neq y
    \end{cases}\]
    die \textbf{diskrete Metrik}. Die Metrik $d$ induziert die 
    \textbf{diskrete Topologie}.
\end{beispiel}

\begin{beispiel}
    $X = \mdr^2$ und $d\left ((x_1, y_1), (x_2, y_2)\right ) := \max(\|x_1 - x_2\|, \|y_1 - y_2\|)$
    ist Metrik.

    \emph{Beobachtung:} $d$ erzeugt die eukldische Topologie.

    \begin{figure}[ht]
        \centering
        \subfigure[$\fB_r(0)$]{
            \input{figures/open-square}
            \label{fig:open-square}
        }%
        \subfigure[Euklidische Topologie]{
            \input{figures/quadrat-in-kreis-in-dots}
            \label{fig:quadrat-in-kreis-in-dots}
        }%
        \label{Formen}
        \caption{Veranschaulichungen zur Metrik $d$}
    \end{figure}

\end{beispiel}

\begin{beispiel}[SNCF-Metrik\footnote{Diese Metrik wird auch \enquote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Franz\%C3\%B6sische_Eisenbahnmetrik}{französische Eisenbahnmetrik}} genannt.}] \xindex{Metrik!SNCF}
    $X = \mdr^2$ 

    \input{figures/sncf-metrik}
\end{beispiel}

\begin{definition} \xindex{Raum!hausdorffscher}
    Ein topologischer Raum $X$ heißt \textbf{hausdorffsch}, wenn es
    für je zwei Punkte $x \neq y$ in $X$ Umgebungen $U_x$ um $x$
    und $U_y$ um $y$ gibt, sodass $U_x \cap U_y = \emptyset$.
\end{definition}

\begin{bemerkung}[Trennungseigenschaft]
    Metrische Räume sind hausdorffsch, da 
    \[d(x,y) > 0 \Rightarrow \exists \varepsilon: \fB_\varepsilon(x) \cap \fB_\varepsilon(y) = \emptyset\]
    Ein Beispiel für einen topologischen Raum, der nicht hausdorfsch ist,
    ist $(\mdr, \fT_Z)$.
\end{bemerkung}

\begin{bemerkung}
    Seien $X, X_1, X_2$ Hausdorff-Räume.
    \begin{enumerate}[label=\alph*)]
        \item Jeder Teilraum um $X$ ist Hausdorffsch.
        \item $X_1 \times X_2$ ist Hausdorffsch.
    \end{enumerate}
    \begin{figure}[htp]
        \centering
        \input{figures/topology-metric-hausdorff}
        \caption{Wenn $X_1, X_2$ hausdorffsch sind, dann auch $X_1 \times X_2$}
    \end{figure}
\end{bemerkung}

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% Mitschrieb vom 24.10.2013                                         %
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\begin{definition} \xindex{Grenzwert} \xindex{Limes}
    Sei $X$ ein topologischer Raum und $(x)_{n \in \mdn}$ eine Folge
    in $X$. $x \in X$ heißt \textbf{Grenzwert} oder \textbf{Limes}
    von $(x_n)$, wenn es für jede Umgebung $U$ von $x$ ein $n_0$ gibt,
    sodass $x_n \in U$ für alle $n \geq n_0$.
\end{definition}

\begin{korollar}
    Ist $X$ hausdorffsch, so hat jede Folge in $X$ höchstens einen
    Grenzwert.
\end{korollar}

\begin{beweis}
    \underline{Annahme}: $x$ und $y$ mit $x \neq y$ sind Grenzwerte der Folge $(x_n)$.

    Nach Voraussetzung gibt es Umgebungen $U_x$ von $x$ und $U_y$
    von $y$ mit $U_x \cap U_y = \emptyset$. Nach Annahme gibt es
    $n_0$ mit $x_n \in U_x \cap U_y$ für alle $n \geq n_0$
    $\Rightarrow$ Widerspruch   $\qed$
\end{beweis}

\section{Stetigkeit}
\begin{definition} \xindex{stetig} \xindex{Homöomorphismus}
    Seien $X, Y$ topologische Räume und $f:X \rightarrow Y$ eine Abbildung.

    \begin{enumerate}[label=\alph*),ref=\theplaindefinition.\alph*]
        \item $f$ heißt \textbf{stetig}, wenn für jedes offene 
              $U \subseteq Y$ auch $f^{-1} (U) \subseteq X$ offen ist. \label{def:stetigkeit}
        \item $f$ heißt \textbf{Homöomorphismus}, wenn es eine 
              stetige Abbildung  $g: Y \rightarrow X$ gibt, sodass
              $g \circ f = \text{id}_X$ und $f \circ g = \text{id}_Y$.
    \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{korollar}
    % Im Grunde wird die Äquivalenz von Stetigkeit im Sinne der 
    % Analysis und Topologie auf metrischen Räumen gezeigt.
    Seien $X, Y$ metrische Räume und $f: X \rightarrow Y$ eine Abbildung.

    Dann gilt: $f$ ist stetig $\gdw$ zu jedem $x \in X$ und jedem
    $\varepsilon > 0$ gibt es $\delta(x, \varepsilon) > 0$, sodass für
    alle $y \in X$ mit $d(x,y) < \delta $ gilt 
    $d_Y(f(x), f(y)) < \varepsilon$.
\end{korollar}

\begin{beweis}
    \enquote{$\Rightarrow$}: Sei $x \in X, \varepsilon > 0$ gegeben.
    Sei $U := \fB_\varepsilon(f(x))$.  Dann ist $U$ offen in $Y$.
    $\stackrel{\ref{def:stetigkeit}}{\Rightarrow} f^{-1}(U)$  ist 
    offen in $X$. Dann ist $x \in f^{-1}(U)$.
    $\Rightarrow \exists \delta > 0$, sodass 
    $\fB_\delta(x) \subseteq f^{-1} (U)$
    $\Rightarrow f(\fB_\delta(x)) \subseteq U$
    $\Rightarrow \Set{y \in X | d_X(x,y) < \delta} \Rightarrow$ Beh.

    \enquote{$\Leftarrow$}: Sei $U \subseteq Y$ offen, $X \in f^{-1}(U)$.
    Dann gibt es $\varepsilon > 0$, sodass $\fB_\varepsilon(f(x)) \subseteq U$
    $\stackrel{\text{Vor.}}{\Rightarrow}$ Es gibt $\delta > 0$, sodass
    $f(\fB_\delta(x) \subseteq \fB_\varepsilon (f(x)))$
    $\Rightarrow \fB_\delta(x) \subseteq f^{-1}(\fB_\varepsilon(f(x))) \subseteq f^{-1}(U)$
    $\qed$
\end{beweis}

\begin{bemerkung}
    Eine Ableitung $f: X \rightarrow Y$ von topologischen Räumen ist
    genau dann stetig, wenn für jede abgeschlossene Teilmenge $A \subseteq Y$
    gilt: $f^{-1}(A) \subseteq X$ ist abgeschlossen.
\end{bemerkung}

\begin{beispiel}
    \begin{enumerate}[label=\arabic*)]
        \item Für jeden topologischen Raum $X$ gilt: $\text{Id}_X : X \rightarrow X$
              ist Homöomorphismus.
        \item Ist $Y$ trivialer topologischer Raum, d.h. $\fT = \fT_\text{triv}$,
              so ist jede Abbildung $f:X \rightarrow Y$ stetig.
        \item Ist $X$ diskreter topologischer Raum, so ist $f:X \rightarrow Y$
              stetig für jeden topologischen Raum $Y$ und jede Abbildung $f$.
        \item Sei $X = [0, 1), Y = S^1 = \Set{z \in \mdc | \|z\| = 1}$
              und $f(t) = e^{2 \pi i t}$
              \todo[inline]{Bild mit Kreis und Zahlenstrahl von 0 bis 1 einfügen}
              Die Umkehrabbildung $g$ ist nicht stetig, da $g^{-1}(U)$
              nicht offen ist (vgl. Bild TODO)
    \end{enumerate}
\end{beispiel}

\begin{korollar}
    Seien $X, Y, Z$ topologische Räume, $f:X \rightarrow Y$ und 
    $g:Y \rightarrow Z$ stetige Abbildungen.

    Dann ist $g \circ f: X \rightarrow Z$ stetig.

    \centerline{
        \begin{xy}
          \xymatrix{
              X \ar[rr]^f \ar[rd]_{g \circ f}  &     &  Y \ar[dl]^g  \\
                                               &  Z  &
          }
        \end{xy}
    }
\end{korollar}

\begin{beweis}
    Sei $U \subseteq Z$ offen $\Rightarrow (g \circ f)^{-1} (U) = f^{-1} (g^{-1}(U))$.
    $g^{-1}(U)$ ist offen in $Y$ weil $g$ stetig ist, $f^{-1}(g^{-1}(U))$
    ist offen in $X$, weil $f$ stetig ist. $\qed$
\end{beweis}

\begin{bemerkung}
    Für jeden topologischen Raum ist $\text{Homöo}(X) := \Set{f: X \rightarrow X | f \text{ ist Homöomorphismus}}$
    eine Gruppe.
\end{bemerkung}

\begin{bemerkung}
    \begin{enumerate}[label=\alph*]
        \item Jede Isometrie $f:X \rightarrow Y$ zwischen metrischen 
              Räumen ist ein Homöomorphismus.
        \item $\text{Isom}(X) := \Set{f:X \rightarrow X | f \text{ ist Isometrie}}$ ist
              Untergruppe von $\text{Homöo}(X)$ für jeden metrischen
              Raum $X$.
    \end{enumerate}
\end{bemerkung}

\begin{korollar}
    Seien $X, Y$ topologische Räume. $\pi_X: X \times Y \rightarrow X$
    und $\pi_Y: X \times Y \rightarrow Y$ die Projektionen 
    \[(x,y) \mapsto x \;\;\;(x,y) \mapsto y\]
    Wird $X \times Y$ mit der Produkttopologie versehen, so sind $\pi_X$
    und $\pi_Y$ stetig.
\end{korollar}

\begin{beweis}
    Sei $U \subseteq X$ offen $\Rightarrow \pi_x^{-1} (U) = U \times Y$ 
    ist offen in $X \times Y$. $\qed$
\end{beweis}

\begin{korollar}
    Sei $X$ ein topologischer Raum, $\sim$ eine Äquivalenzrelation auf
    $X$, $\overline{X} = X /_\sim$ der Bahnenraum versehen mit der
    Quotiententopologie, $\pi:X \rightarrow \overline{X}$, $x \mapsto [x]_\sim$.

    Dann ist $\pi$ stetig.
\end{korollar}

\begin{beweis}
    Nach Definition ist $U \subseteq \overline{X}$ offen $\gdw \pi^{-1}(U) \subseteq X$ offen
\end{beweis}

\emph{Beobachtung:} Die Quotiententopologie ist die feinste Topologie,
sodass $\pi$ stetig wird.

\begin{beispiel}[Stereographische Projektion] \xindex{Projektion!stereographische}
    $\mdr^n$ und $S^n \setminus \Set{N}$ sind homöomorph für
    beliebiges $N \in S^n$

    \begin{align*}
        S^n &= \Set{x \in \mdr^{n+1} | \|x\| = 1}\\
            &= \Set{x \in \mdr^{n+1} | \sum_{i=1}^{n+1} x_i^2}
    \end{align*}
    
    Sei ohne Einschränkung $N = \begin{pmatrix}0\\ \vdots\\ 1\end{pmatrix}$.

    \begin{align*}
        f: &S^n \setminus \Set{N} \rightarrow \mdr^n\\
        P  &\mapsto \overbrace{L_P \cap H}^\text{genau ein Punkt}
    \end{align*}

    wobei $\mdr^n = H = \Set{\begin{pmatrix}x_1\\ \vdots \\ x_{n+1}\end{pmatrix} \in \mdr^{n+1} | x_{n+1} = 0}$
    und $L_P$ die Gerade in $\mdr^{n+1}$ durch $N$ und $P$ ist.

    \begin{figure}[htp]
        \centering
        \input{figures/stereographic-projection}
        \caption{Visualisierung der sphärischen Projektion\\Bildquelle: \href{http://texample.net/tikz/examples/map-projections/}{texample.net/tikz/examples/map-projections}}
    \end{figure}

    Sei $P = \begin{pmatrix}x_1\\ \vdots \\ x_{n+1}\end{pmatrix}$, so
    ist $x_{n+1} < 1$, also ist $L_P$ nicht parallel zu $H$. Also
    schneiden sich $L_P$ und $H$ in genau einem Punkt $\hat{P}$.

    Es gilt: $f$ ist bijektiv und die Umkehrabbildung ist ebenfalls
    stetig.    
\end{beispiel}