LaTeX-examples/documents/Numerik/Klausur2/Aufgabe2.tex

\section*{Aufgabe 2}
\subsection*{Teilaufgabe a)}
Formel: $y_i = \frac{b_i - \sum_{j=1}^{i-1} y_j \cdot l_{ij}}{l_{ii}} $

Anmerkung: $l_{ii}$ kann nicht $0$ sein, da L dann nicht mehr invertierbar wäre.

Algorithmus:

\begin{algorithm}[H]
    \begin{algorithmic}
    	\For{$i=1$ to $i=n$}
			\State $sum \gets 0$
			\For{$j = 1$ to $j = i-1$}
				\State $sum \gets sum + y_i \cdot l_{ij}$
			\EndFor
			\State $y_i \gets \frac{b_i - sum}{l_{ii}}$
		\EndFor
    \end{algorithmic}
\caption{TODO}
\end{algorithm}

\subsubsection*{(b)}
\begin{algorithm}[H]
    \begin{algorithmic}
    \Require Matrix $A$, Vektor $b$
	\Procedure{LoeseLGS}{$A$, $b$}
    	\State $P, L, R \gets \Call{LRZer}{A}$
		\State $b^* \gets P \cdot b$
		\State $c \gets \Call{VorSub}{L, b^*}$
		\State $x \gets \Call{RueckSub}{R, c}$
		\State \Return $x$
	\EndProcedure
    \end{algorithmic}
\caption{Löse ein LGS $Ax = b$}
\end{algorithm}

\subsection*{Teilaufgabe c)}
Aufwand:
\begin{itemize}
\item Vorwärts-/Rückwärtssubstitution: jeweils $\frac{1}{2} \cdot n^2$
\item LR-Zerlegung: $\frac{1}{3}n^3$
\item gesamt: $\frac{1}{3}n^3+n^2$
\end{itemize}