LaTeX-examples/documents/Numerik/Klausur4/Aufgabe1.tex

\section*{Aufgabe 1}
\textbf{Gegeben:}

\[A = 
\begin{pmatrix}
    6 & -6 & 0 \\
   -3 & 7  & 2  \\
    2 & 4  & 1
\end{pmatrix}, \;\;\;
b =\begin{pmatrix}
    0 \\
    8 \\
    8
\end{pmatrix}\]

\textbf{Aufgabe:} $Ax = b$ mit Gaußelimination und Spaltenpivotwahl lösen

\textbf{Lösung:} 

\begin{align}
	\begin{gmatrix}[p]
        6 & -6 & 0 & 0\\
       -3 & 7  & 2 & 8\\
        2 & 4  & 1 & 8
	 \rowops
	 \mult{0}{\cdot \frac{1}{6}}
	\end{gmatrix}
	&\leadsto
	\begin{gmatrix}[p]
        1 & -1 & 0 & 0\\
       -3 & 7  & 2 & 8\\
        2 & 4  & 1 & 8
	 \rowops
	 \add[3]{0}{1}
	 \add[-2]{0}{2}
	\end{gmatrix}\\
    &\leadsto
	\begin{gmatrix}[p]
        1 & -1 & 0 & 0\\
        0 & 4  & 2 & 8\\
        0 & 6  & 1 & 8
	 \rowops
	 \swap{1}{2}
	\end{gmatrix}\\
    &\leadsto
	\begin{gmatrix}[p]
        1 & -1 & 0 & 0\\
        0 & 6  & 1 & 8\\
        0 & 4  & 2 & 8
	 \rowops
	 \mult{1}{\cdot \frac{1}{6}}
	 \add[-4]{1}{2}
	\end{gmatrix}\\
    &\leadsto
	\begin{gmatrix}[p]
        1 & -1 & 0 & 0\\
        0 & 1  & \frac{1}{6} & \frac{4}{3}\\
        0 & 0  & \frac{4}{3} & \frac{8}{3}
	 \rowops
	 \mult{2}{\cdot \frac{3}{4}}
	\end{gmatrix}\\
    &\leadsto
	\begin{gmatrix}[p]
        1 & -1 & 0 & 0\\
        0 & 1  & \frac{1}{6} & \frac{4}{3}\\
        0 & 0  & 1 & 2
	 \rowops
	 \add[\cdot \frac{-1}{6}]{2}{1}
	\end{gmatrix}\\
    &\leadsto
	\begin{gmatrix}[p]
        1 & -1 & 0 & 0\\
        0 & 1  & 0 & 1\\
        0 & 0  & 1 & 2
	 \rowops
	 \add[]{1}{0}
	\end{gmatrix}\\
    &\leadsto
	\begin{gmatrix}[p]
        1 & 0  & 0 & 1\\
        0 & 1  & 0 & 1\\
        0 & 0  & 1 & 2
	\end{gmatrix}
\end{align}

$\Rightarrow x = \begin{pmatrix}1 & 1 & 2\end{pmatrix}^T$ löst das LGS.