LaTeX-examples/documents/Numerik/Klausur1/Aufgabe4.tex

\section*{Aufgabe 4}
\textbf{Aufgabe}: 

\[I(f) = \int_a^b f(x) \mathrm{d}x \]

\begin{enumerate}
	\item Integrand am linken und am rechten Rand interpolieren
	\item Interpolationspolynom mit Quadraturformel integrieren
\end{enumerate}

\textbf{Lösung}:

Stützstellen:

\[(a, f(a)) \text{ und } (b, f(b))\]

$\Rightarrow$ Polynom 1. Grades interpoliert diese \\
$\Rightarrow$ Gerade $y = m \cdot x +t$ interpoliert

\begin{align}
    f(a) &= a \cdot m + t\\
	f(b) &= b \cdot m + t\\
\Leftrightarrow 
	t &= f(a) - ma\\
	t &= f(b) - mb\\
\Rightarrow 
	f(a) - ma &= f(b) - mb\\
\Leftrightarrow	f(a) - f(b) &= ma - mb\\
\stackrel{a \neq b}{\Leftrightarrow}	m &= \frac{f(a) - f(b)}{a - b}\\
\Rightarrow t &= f(a) - \frac{f(a) - f(b)}{a - b} \cdot a\\
\Leftrightarrow t &= \frac{f(a) \cdot a - f(a) \cdot b - f(a) \cdot a - f(b) \cdot a}{a-b}\\
\Leftrightarrow t &= \frac{- f(a) \cdot b - f(b) \cdot a}{a-b}\\
\Leftrightarrow t &= \frac{f(a) \cdot b + f(b) \cdot a}{b-a}
\end{align}

Das Interpolationspolynom $p(x)$ lautet also

\[ p(x) = \frac{f(a) - f(b)}{a - b} \cdot x + \frac{f(a) \cdot b + f(b) \cdot a}{b-a}\]

Für Polynome ersten Grades benötigt man eine Quadraturformel vom Grad 2 (also NICHT die Rechteckregel). 

\paragraph{Lösung 1: Mittelpunktsregel}
Die Mittelpunktsregel lautet
\[\int_a^b f(x) dx \approx (b-a) f(a + \frac{1}{2}(b-a))\]

Damit ergibt sich

\[I(f) \approx (b-a) \underbrace{(\frac{f(a) - f(b)}{a - b} \cdot (a + \frac{1}{2}(b-a)) + \frac{f(a) \cdot b + f(b) \cdot a}{b-a})}_{p(a + \frac{1}{2}(b-a))}\]

\paragraph{Lösung 2: Trapezregel}
Die Trapezregel lautet
\[\int_a^b f(x) dx \approx (b-a) \left (\frac{1}{2}f(a) + \frac{1}{2} f(b) \right )\]

TODO: Mache das, wer will.

\subsection*{Teilaufgabe b)}
Sei nun $f(x) = x^2$ und $a = 0$ sowie $b = 4$. Man soll die ermittelte
Formel zwei mal auf äquidistanten Intervallen anwenden.

\textbf{Lösung:}

\begin{align}
	\int_a^b f(x)\mathrm{d}x &=\int_a^{\frac{b-a}{2}} f(x) \mathrm{d}x + \int_{\frac{b-a}{2}}^b f(x) \mathrm{d}x\\
	\int_0^4 x^2 \mathrm{d}x &=\int_0^2 x^2 \mathrm{d}x + \int_2^4 x^2 \mathrm{d}x\\
	\int_0^2 x^2 \mathrm{d}x &\approx (2-0) (\frac{f(0) - f(2)}{0 - 2} \cdot (0 + \frac{1}{2}(2-0)) + \frac{f(0) \cdot 2 + f(2) \cdot 0}{2-0})\\
		&= 2 \cdot \frac{-4}{-2} = 2\\
	\int_2^4 x^2 \mathrm{d}x &\approx (4-2) (\frac{f(2) - f(4)}{2 - 4} \cdot (2 + \frac{1}{2}(4-2)) + \frac{f(2) \cdot 4 + f(4) \cdot 2}{4-2})\\
		&= \text{TODO}
\end{align}