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\section*{Aufgabe 3}
Die Jacobi-Matrix von $f$ lautet:
\[f' (x,y) = \begin{pmatrix}
	3     & \cos y\\
	3 x^2 & e^y
\end{pmatrix}\]
Hierfür wurde in in der ersten Spalte nach $x$ abgeleitet und in der
zweiten Spalte nach $y$.

Und jetzt die Berechnung %TODO: Was ist hiermit gemeint?

\[f'(x, y) \cdot (x_0, y_0) = f(x,y)\] %TODO: Was ist hiermit gemeint?

LR-Zerlegung für $f'(x, y)$ kann durch scharfes hinsehen durchgeführt
werden, da es in $L$ nur eine unbekannte (links unten) gibt. Es gilt
also ausführlich:

\begin{align}
	\begin{pmatrix}
		3     & \cos y\\
		3 x^2 & e^y
	\end{pmatrix}
	&=
	\overbrace{\begin{pmatrix}
		1      & 0\\
		l_{12} & 1
	\end{pmatrix}}^L \cdot 
	\overbrace{\begin{pmatrix}
		r_{11} & r_{12}\\
		0      & r_{22}
	\end{pmatrix}}^R\\
	\Rightarrow r_{11} &= 3\\
	\Rightarrow r_{12} &= \cos y\\
	\Rightarrow \begin{pmatrix}
		3     & \cos y\\
		3 x^2 & e^y
	\end{pmatrix}
	&=
	\begin{pmatrix}
		1      & 0\\
		l_{12} & 1
	\end{pmatrix} \cdot 
	\begin{pmatrix}
		3 & \cos y\\
		0 & r_{22}
	\end{pmatrix}\\
	\Rightarrow 3x^2 &\stackrel{!}{=} l_{12} \cdot 3 + 1 \cdot 0\\
	\Leftrightarrow l_{12} &= x^2\\
	\Rightarrow e^y &\stackrel{!}{=} x^2 \cdot \cos y + 1 \cdot r_{22}\\
	\Leftrightarrow r_{22} &= -x^2 \cdot \cos y + e^y\\
	\Rightarrow \begin{pmatrix}
		3     & \cos y\\
		3 x^2 & e^y
	\end{pmatrix}
	&=
	\begin{pmatrix}
		1   & 0\\
		x^2 & 1
	\end{pmatrix} \cdot 
	\begin{pmatrix}
		3 & \cos y\\
		0 & -x^2 \cdot \cos y + e^y
	\end{pmatrix}\\
	P &= I_2\\
\end{align}

Es folgt:
\begin{align}
-f ( \nicefrac{-1}{3}, 0) &= \begin{pmatrix} -2\\ -\frac{26}{27}\end{pmatrix}\\
c &= \begin{pmatrix} 2\\ \frac{82}{27} \end{pmatrix}\\ %TODO: Was ist c?
(x_1, y_1) &= \begin{pmatrix} \frac{5}{3}\\ \frac{82}{27}\end{pmatrix}
\end{align}