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- \section*{Aufgabe 5}
- \subsection*{Teilaufgabe a}
- Eine Quadraturformel $(b_i, c_i)_{i=1, \dots, s}$ hat die Ordnung
- $p$, falls sie exakte Lösungen für alle Polynome vom Grad $\leq p -1$
- liefert.
- \subsection*{Teilaufgabe b}
- \[\sum_{i=1}^s b_i c_i^{q-1} = \frac{1}{q} \text{ für } q = 1, \dots, p\]
- \subsection*{Teilaufgabe c}
- \paragraph{Aufgabe} Bestimmen Sie zu den Knoten $c_1 = 0$ und $c_2 = \frac{2}{3}$ Gewichte, um eine Quadraturformel
- maximaler Ordnung zu erhalten. Wie hoch ist die Ordnung?
- \paragraph{Lösung}
- Als erstes stellen wir fest, dass die Knoten nicht symmetrisch (d.h.
- gespiegelt bei $\frac{1}{2}$) sind. TODO: Warum ist das wichtig?
- $\stackrel{\text{Satz 28}}{\Rightarrow}$ Wenn wir Ordnung $s = 2$ fordern, sind die Gewichte eindeutig bestimmt.
- Da $c_1 = 0$ kann es sich nicht um die Gauß-QF handeln. Somit können
- wir nicht Ordnung 4 erreichen.
- Nach VL kann bei Vorgabe von $s$ Knoten auch die Ordnung $s$ durch
- geschickte Wahl der Gewichte erreicht werden.
- Also berechnen wir die Gewichte, um die Ordnung 2 zu sichern:
- \begin{align}
- b_i &= \int_0^1 L_i(x) \mathrm{d}x\\
- b_1 &= \frac{1}{4}\\
- b_2 &= \frac{3}{4}
- \end{align}
- Diese Gewichte $b_1, b_2$ erfüllen die 1. und 2. Ordnungsbedingung.
- \begin{align}
- \frac{1}{3} &= \sum_{i=1}^2 b_i \cdot c_i^2\\
- &= \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{9}\\
- &= \frac{1}{3}
- \end{align}
- Damit ist auch die 3. Ordnungsbedingung und mit den Knoten maximale Ordnung erfüllt.
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