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- \section*{Aufgabe 4}
- \textbf{Aufgabe}:
- \[I(f) = \int_a^b f(x) \mathrm{d}x \]
- \begin{enumerate}
- \item Integrand am linken und am rechten Rand interpolieren
- \item Interpolationspolynom mit Quadraturformel integrieren
- \end{enumerate}
- \textbf{Lösung}:
- Nutze Interpolationsformel von Lagrange:
- \[p(x) = \sum_{i=0}^{1} f_i \cdot L_i(x)\]
- Berechne Lagrangepolynome:
- \begin{align}
- L_0(x) = \frac{x-b}{a-b} \\
- L_1(x) = \frac{x-a}{b-a}
- \end{align}
- So erhalten wir:
- \[p(x) = f(a) \frac{x-b}{a-b} + f(b) \frac{x-a}{b-a}\]
- Nun integrieren wir das Interpolationspolynom:
- \[ \int_a^b p(x)dx = \int_a^b f(a) \frac{x-b}{a-b}dx + \int_a^b f(b) \frac{x-a}{b-a}dx \]
- \[ = \int_a^b \frac{f(a) \cdot x}{a-b}dx - \int_a^b \frac{f(a) \cdot b}{a-b}dx + \int_a^b \frac{f(b) \cdot x}{b-a}dx - \int_a^b \frac{f(b) \cdot a}{b-a}dx \]
- \[ = \frac{1}{2} \cdot \frac{f(a) \cdot b^2}{a-b} - \frac{1}{2} \cdot \frac{f(a) \cdot a^2}{a-b} - \frac{f(a) \cdot b^2}{a-b} + \frac{f(a) \cdot b \cdot a}{a-b} + \frac{1}{2} \cdot \frac{f(b) \cdot b^2}{b-a} \]
- \[ - \frac{1}{2} \cdot \frac{f(b) \cdot a^2}{b-a} - \frac{f(b) \cdot a \cdot b}{b-a} + \frac{f(b) \cdot a^2}{b-a}\]
- \[=(b-a)\cdot(\frac{f(a)}{2} + \frac{f(b)}{2})\]
- Betrachtet man nun die allgemeine Quadraturformel,
- \[
- \int_a^b f(x)dx \approx (b-a) \sum_{i=1}^s b_i f(a+c_i(b-a))
- \]
- so gilt für die hergeleitete Quadraturformel also $s=2$, $c_1=0, c_2=1$ und $b_1 = b_2 = \frac{1}{2}$. Sie entspricht damit der Trapezregel.
- \subsection*{Teilaufgabe b)}
- Sei nun $f(x) = x^2$ und $a = 0$ sowie $b = 4$. Man soll die ermittelte
- Formel zwei mal auf äquidistanten Intervallen anwenden.
- \textbf{Lösung:}
- \begin{align}
- \int_0^4 p(x) dx = \int_0^2 p(x)dx + \int_2^4 p(x)dx = 24
- \end{align}
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